Integrale
mi date una mano con questo integrale?
$ int int_(T)^() (6x + 2y^3) dx dy $
$ T = {(x,y) in R^2 : x^2 + y^2 <= 2 , x >= 0, |y| <= x^2 } $
$ int int_(T)^() (6x + 2y^3) dx dy $
$ T = {(x,y) in R^2 : x^2 + y^2 <= 2 , x >= 0, |y| <= x^2 } $
Risposte
intanto hai qualche idea ? almeno su come è fatto T..
è proprio quello che mi ferma.... sono in alto mare
Determinare il dominio non è difficile, basta riconoscere le figure coinvolte: $x^2 + y^2 <=2$ è una circonferenza precisamente centrata nell' origine e di raggio $sqrt(2)$; di questa devi considerare poi il semipiano positivo delle ascisse e la parte compresa tra i due rami di parabola $y=x^2$ e $y=-x^2$
Ora il problema è vedere in che modo "affettare" il tutto..
Ora il problema è vedere in che modo "affettare" il tutto..
bè andando a guardare come è fatto il dominio dovrebbe venire subito in mente un determinato cambiamento di variabili...pensaci un attimo
vi prego ditemi voi come fare perchè sono fermo... e tra poco ho l'esame 
bè avendo a che fare con una circonferenza centrata nell'origine è sicuramente conveniente passare a coordinate polari con polo in $(0,0)$
${(x=rhocos(theta)),(y=rhosin(theta)):}$
dove il determinante jacobiano è $j=rho$ (ti converrebbe calcolarlo manualmente,in modo da capire il procedimento per gli eventuali altri cambiamenti che dovrai fare in futuro)
ora sta a te calcolare come variano $rho$ e $theta$
${(x=rhocos(theta)),(y=rhosin(theta)):}$
dove il determinante jacobiano è $j=rho$ (ti converrebbe calcolarlo manualmente,in modo da capire il procedimento per gli eventuali altri cambiamenti che dovrai fare in futuro)
ora sta a te calcolare come variano $rho$ e $theta$
A dire la verità io l'avevo risolto senza il cambio di coordinate (sempre che sia giusto come ho fatto) e i conti non sono poi impraticabili, anzi.
Prova tutti e due i modi
Prova tutti e due i modi
il risultato è 7. ti esce giusto?
io sto provando con il cambio di coordinate intanto
io sto provando con il cambio di coordinate intanto
non riesco a risolverlo
devo usare questo sistema?
http://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di ... cartesiane
devo usare questo sistema?
http://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di ... cartesiane
Sì il risultato è giusto. Ora provo con le polari ma di solito si usano quando si ha a che fare con oggetti "concentrici" tipo una corona circolare, correggetemi se sbaglio.
Comunque sì devi operare la sostituzione che ti ha suggerito Zipangulu, ricordandoti di moltiplicare per $rho$ e poi integrare nelle tue nuove variabili.
Comunque sì devi operare la sostituzione che ti ha suggerito Zipangulu, ricordandoti di moltiplicare per $rho$ e poi integrare nelle tue nuove variabili.
io non l'ho risolto perchè devo studiare e non ho molto tempo da dedicarci...ma sinceramente senza cambio di coordinate mi sembra non semplicissimo...
Ps. solitamente le coordinate polari si,si usano nei casi in cui dici tu ma non solo...in genere è conveniente utilizzarle quando ci si trova di fronte a domini dove compaiono circonferenze
Ps. solitamente le coordinate polari si,si usano nei casi in cui dici tu ma non solo...in genere è conveniente utilizzarle quando ci si trova di fronte a domini dove compaiono circonferenze
mmh lasciamo perdere quel sistema, ed andiamo avanti per piccoli passi.
Allora, premesso che tu sappia com'è fatto il dominio, puoi notare 2 cose: è pari rispetto all' asse X, ed è delimitato da 2 curve diverse (ecco perchè non è così necessario passare subito alle polari), in partilare hai un pezzo di parabola, e poi un pezzo di circonferenza.
in questi casi, prima trovi il punto di intersezione tra le 2 figure facendo il sistema tra la parabola e il cerchio. Poi notando che si tratta di un dominio normale rispetto ad y, o rispetto ad x, dipende dalle convenzioni che sei abituato ad avere, avrai che: $0 < x < x_1, 0 < y < x^2$ ed anche $x_1 < x < sqrt(2), 0 < y < sqrt(2 - x^2)$.
Il primo dominio riguarda la parabola, $x_1$ è l' intersezione tra le figure, e come vedi Y è delimitata tra zero e la parabola. Mentre il secondo dominio riguarda la limitazione data dalla circonferenza alla coordinata Y.
Avendo usato la parità, dovrai moltiplicare l'integrale generale per 2.
Allora, premesso che tu sappia com'è fatto il dominio, puoi notare 2 cose: è pari rispetto all' asse X, ed è delimitato da 2 curve diverse (ecco perchè non è così necessario passare subito alle polari), in partilare hai un pezzo di parabola, e poi un pezzo di circonferenza.
in questi casi, prima trovi il punto di intersezione tra le 2 figure facendo il sistema tra la parabola e il cerchio. Poi notando che si tratta di un dominio normale rispetto ad y, o rispetto ad x, dipende dalle convenzioni che sei abituato ad avere, avrai che: $0 < x < x_1, 0 < y < x^2$ ed anche $x_1 < x < sqrt(2), 0 < y < sqrt(2 - x^2)$.
Il primo dominio riguarda la parabola, $x_1$ è l' intersezione tra le figure, e come vedi Y è delimitata tra zero e la parabola. Mentre il secondo dominio riguarda la limitazione data dalla circonferenza alla coordinata Y.
Avendo usato la parità, dovrai moltiplicare l'integrale generale per 2.
cavoli mi esce 12 e non 7
??
??
a me esce 3....
Wow. Vi dico come ho fatto io. Dopo aver osservato che l'ascissa del punto di intersezione tra la parabola e la circonferenza è 1 si può calcolare l'integrale spezzandolo così:
$\int _{0}^{1}dx\int_{-x^2}^{x^2} (6x+2y^3) dy+ \int_{1}^{sqrt(2)} dx \int_{-sqrt(2-x^2)}^{sqrt(2-x^2)} (6x+2y^3)dy$
ovvero, integrando in $dy$:
$\int_{0}^{1} (12x^3)dx + \int_{1}^{sqrt(2)}((12x)(sqrt(2-x^2)))dx$
Dopo l'integrazione, salvo errori di calcolo, si trova che il primo addendo vale 3 e il secondo 4. Quindi 7.
$\int _{0}^{1}dx\int_{-x^2}^{x^2} (6x+2y^3) dy+ \int_{1}^{sqrt(2)} dx \int_{-sqrt(2-x^2)}^{sqrt(2-x^2)} (6x+2y^3)dy$
ovvero, integrando in $dy$:
$\int_{0}^{1} (12x^3)dx + \int_{1}^{sqrt(2)}((12x)(sqrt(2-x^2)))dx$
Dopo l'integrazione, salvo errori di calcolo, si trova che il primo addendo vale 3 e il secondo 4. Quindi 7.
grande! ci sono riuscito anche io.... e ho pure capito bene come
grazie a tutti siete mitici
grazie a tutti siete mitici
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