Integrale
salve a tutti, devo determinare se il seguente integrale improprio converge:
$ int_(-oo)^(+oo) 1/ root()(|x|) sin (1/(x^2-1))dx $
so che un integrale del tipo $ int_(a)^(+oo) f(x)dx $ converge se $EE$ finito $ lim_(y -> +oo) int_(a)^(y) f(x)dx $
il mio problema è che questo integrale va da $-oo$ a $+oo$, quindi è corretto impostare il limite così: $ lim_(y -> +oo) int_(-oo)^(y) 1/ root()(|x|) sin (1/(x^2-1))dx $?
per quanto riguarda il valore assoluto dovrei considerare il $lim $dell'integrale con $root()(x) $ + l'integrale con $root()(-x)$ [a cui poi verrà sostituito $oo$]?
ho provato a risolverlo, ed il lim mi è risultato $0$ quindi indicherebbe che l'integrale converge; è corretto?
Grazie!
$ int_(-oo)^(+oo) 1/ root()(|x|) sin (1/(x^2-1))dx $
so che un integrale del tipo $ int_(a)^(+oo) f(x)dx $ converge se $EE$ finito $ lim_(y -> +oo) int_(a)^(y) f(x)dx $
il mio problema è che questo integrale va da $-oo$ a $+oo$, quindi è corretto impostare il limite così: $ lim_(y -> +oo) int_(-oo)^(y) 1/ root()(|x|) sin (1/(x^2-1))dx $?
per quanto riguarda il valore assoluto dovrei considerare il $lim $dell'integrale con $root()(x) $ + l'integrale con $root()(-x)$ [a cui poi verrà sostituito $oo$]?
ho provato a risolverlo, ed il lim mi è risultato $0$ quindi indicherebbe che l'integrale converge; è corretto?
Grazie!
Risposte
Scusa ma come fai a sostituire $oo$? Quella è solo una scrittura ma non ha un senso numerico, di per se. Normalmente in questi casi si scinde l'integrale fissando un $x_0$ appartenente all'insieme di definizione della funzione integranda, e sfruttando l'additività dell'integrale.
$ int_(-oo)^(+oo) f(x)dx = lim_(x->-oo) int_(x)^(x_0) f(x)dx + lim_(x->+oo) int_(x_0)^(x) f(x)dx $
Nel tuo caso E' conveniente fissare $x_0 = 0$, così ti ritrovi senza problemi con il valore assoluto.
$ int_(-oo)^(+oo) f(x)dx = lim_(x->-oo) int_(x)^(x_0) f(x)dx + lim_(x->+oo) int_(x_0)^(x) f(x)dx $
Nel tuo caso E' conveniente fissare $x_0 = 0$, così ti ritrovi senza problemi con il valore assoluto.
Mi domando come si possa risolvere l'integrale indefinito $\int \frac{1}{\sqrt x}\sin (\frac{1}{x^2-1})dx$ però 
Ah, è da determinarne la convergenza... Ok scusate. Non si potrebbe provare con una stima asintotica?
Il primo suggerimento di pater46 rimane comunque valido. Infatti sfruttare l'additività dell'integrale è una cosa furba, attenzione però che la funzione integranda ha problemi anche per [tex]$x=-1, x=1$[/tex], oltre che per [tex]x=0[/tex]. Potresti inoltre notare il fatto che la funzione integranda è pari, e ciò di permetterebbe di dimezzare i conti da fare 
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Mi domando...ma sarebbe lecita nel caso di stima asintotica la seguente sostituzione --> $\sin (\frac{1}{x^2-1})\sim (\frac{1}{x^2-1})$ ?
Dipende in quale intervallo tu stai lavorando, sicuramente non lo puoi fare nell'integrale originale. Quando però lavori in [tex][a, +\infty)[/tex] con [tex]a>1[/tex] allora vale, (simmetricamente vale anche in [tex](-\infty, -a][/tex], con [tex]a>1[/tex]).
Ma in questo caso visto che abbiamo splittato [tex]\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx[/tex] in [tex]\int_{-\infty}^{0} f(x)dx[/tex] e [tex]\int_{0}^{+\infty}f(x)dx[/tex] non rientriamo nei casi che hai descritto.
Bisognerebbe considerare in realtà:
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx= \int_{-\infty}^{-1} f(x) dx+\int_{-1}^0 f(x) dx +\int_{0}^{1} f(x) dx +\int_{1}^\infty f(x) dx[/tex]
poichè la [tex]f[/tex] non è definita per $x= +-1$ (annullano il denominatore dell'argomento del seno).
[edit]: scusa il ritardo nella risposta, stavo cenando
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx= \int_{-\infty}^{-1} f(x) dx+\int_{-1}^0 f(x) dx +\int_{0}^{1} f(x) dx +\int_{1}^\infty f(x) dx[/tex]
poichè la [tex]f[/tex] non è definita per $x= +-1$ (annullano il denominatore dell'argomento del seno).
[edit]: scusa il ritardo nella risposta, stavo cenando
Mi pare che la funzione sia integrabile su tutto $RR$... A occhio. Se mi date conferma di questo (Mathematico o chiunque altro), comincio a dare dei suggerimenti (non la soluzione completa, ovviamente) a 12Aquila per dimostrare questa affermazione.
A occhio direi di sì, è integrabile su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex]
Bene; suggerisco a 12Aquila di procedere mediante stime asintotiche per $x->\pm oo$ e di usare il criterio del confronto intorno a 1 e -1.
Grazie veramente a tutti per le risposte, ma sono un pò confuso:
non è più semplice della stima asintotica risolvere il limite per vedere se è finito (o indeterminato)?
comunque, è corretto usare il lim di questo?:
invece di questo?
Grazie per il vostro aiuto!
"fireball":
Bene; suggerisco a 12Aquila di procedere mediante stime asintotiche per $x->\pm oo$ e di usare il criterio del confronto intorno a 1 e -1.
non è più semplice della stima asintotica risolvere il limite per vedere se è finito (o indeterminato)?
comunque, è corretto usare il lim di questo?:
"Mathematico":
Bisognerebbe considerare in realtà:
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx= \int_{-\infty}^{-1} f(x) dx+\int_{-1}^0 f(x) dx +\int_{0}^{1} f(x) dx +\int_{1}^\infty f(x) dx[/tex]
poichè la [tex]f[/tex] non è definita per $x= +-1$ (annullano il denominatore dell'argomento del seno).
invece di questo?
"pater46":
$ int_(-oo)^(+oo) f(x)dx = lim_(x->-oo) int_(x)^(x_0) f(x)dx + lim_(x->+oo) int_(x_0)^(x) f(x)dx $
Grazie per il vostro aiuto!
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