Integrale

[stenel]

Ciao a tutti. Io non riesco a capire un passaggio nello svolgimento d'un integrale indefinito.
L'integrale iniziale è questo: $\int sqrt(2x+5) dx$. Come passaggio successivo mi viene indicato questo: $1/2 \int 2(2x+5)^(1/2)dx$ Però mi domando: eliminando la radice io elevo l'argomento (ovvero $2x+5$) a $1/2$ e quì ci sono. Poi però non capisco perchè il 2 venga portato fuori dalle parentesi rimanendone allo stesso tempo anche dentro di esse. Stesso discorso per l'esponente $1/2$: se viene messo fuori dall'integrale, come fa allora ad essere ancora presente sopra le parentesi? Qualcuno mi può aiutare a capire?

[Relegal]

Il motivo sta nel fatto che $sqrt(2x+5)=(2x+5)^(1/2)$. Quindi $intsqrt(2x+5)dx=int(2x+5)^(1/2)dx$.
A questo punto moltiplica e divide per $2$ ottenendo $int(2x+5)^(1/2)dx=int2/2(2x+5)^(1/2)dx=1/2int2(2x+5)^(1/2)dx$

[stenel]

"Relegal":Il motivo sta nel fatto che $sqrt(2x+5)=(2x+5)^(1/2)$. Quindi $intsqrt(2x+5)dx=int(2x+5)^(1/2)dx$.
A questo punto moltiplica e divide per $2$ ottenendo $int(2x+5)^(1/2)dx=int2/2(2x+5)^(1/2)dx=1/2int2(2x+5)^(1/2)dx$

Ok Relegal, ma, se non ti chiedo troppo, potresti indicarmi la regola che mi premette di fare questa operazione?

[Relegal]

"Relegal":Il motivo sta nel fatto che $sqrt(2x+5)=(2x+5)^(1/2)$. Quindi $intsqrt(2x+5)dx=int(2x+5)^(1/2)dx$.
A questo punto moltiplica e divide per $2$ ottenendo $int(2x+5)^(1/2)dx=int2/2(2x+5)^(1/2)dx=1/2int2(2x+5)^(1/2)dx$

Beh, $int(2x+5)^(1/2)dx=int1*(2x+5)^(1/2)dx=int2/2(2x+5)^(1/2)dx=int1/2*2(2x+5)^(1/2)dx$ e fino a qui non dovrebbero esserci problemi.
A questo punto utilizzi la seguente proprietà dell'integrale: $int\lambda*f(x)dx=\lambdaintf(x)dx$ $AA \lambda in RR$

[stenel]

"Relegal":[quote="Relegal"]Il motivo sta nel fatto che $sqrt(2x+5)=(2x+5)^(1/2)$. Quindi $intsqrt(2x+5)dx=int(2x+5)^(1/2)dx$.
A questo punto moltiplica e divide per $2$ ottenendo $int(2x+5)^(1/2)dx=int2/2(2x+5)^(1/2)dx=1/2int2(2x+5)^(1/2)dx$

Beh, $int(2x+5)^(1/2)dx=int1*(2x+5)^(1/2)dx=int2/2(2x+5)^(1/2)dx=int1/2*2(2x+5)^(1/2)dx$ e fino a qui non dovrebbero esserci problemi.
A questo punto utilizzi la seguente proprietà dell'integrale: $int\lambda*f(x)dx=\lambdaintf(x)dx$ $AA \lambda in RR$[/quote]

Ok, a questo punto però Relegal l'unica cosa che non comprendo è perchè si moltiplica e si divide per due..cioè su quale principio "lui" fa questo?

[Mathcrazy]

"stenel":
Ok, a questo punto però Relegal l'unica cosa che non comprendo è perchè si moltiplica e si divide per due..cioè su quale principio "lui" fa questo?

Perchè devi avere la derivata di ciò che si trova all'interno parentesi per poter applicare l'integrale immediato..

Secondo la regola:

$int f'(x) * (f(x))^(\alpha) dx = (f(x)^(\alpha + 1))/(\alpha + 1)$

dove, ovviamente $f'(x)$ è la derivata di $f(x)$.
Senza questo accorgimento non potresti usare l'integrale immediato.
Nel tuo caso, la derivata di ciò che stà nella parentesi è $2$, quindi dividendo e moltiplicando per $2$; puoi applicare l'integrale suddetto..
Mi spiego meglio:

$int (2x+5)^(1/2) dx$

Così scritto non è risolvibile con l'integrale immediato, che ti ho sopra scritto.
HAi bisogno di avere fuori la parentesi, la derivata di ciò che sta dentro cioè di $2x+5$.
La derivata di $2x+5$ è $2$.
Quindi dividendo e moltiplicando per $2$ (puoi farlo tranquillamente tanto $2/2 = 1$, quindi non cambia nulla):

$int (2x+5)^(1/2) dx = int 1/2* 2* (2x+5)^(1/2) = 1/2* int 2* (2x+5)^(1/2)$

Ora si che puoi usare quell'integrale!

[stenel]

Mathcrazy sei un grande! Sei stato chiarissimo e quasi come per magia ora mi è tutto + chiaro. Grazie veramente! E grazie anche a Relegal che non è la prima volta che cerca di darmi una mano