Integrale

[dany80-votailprof]

ciao vorrei un parere su questo esercizio che ho svolto(compito d'esame analisi 1):
trovare le primitive in $-oo;+oo$ di


$sqrt((x+1+|x+1|)/((x+1)*|x|))$

io ho ragionato così la funzione in $-oo;+oo$ non sempre uguale così o tolto i 2 valori assoluti identificando 3 intervalli e 3 diverse funzioni

$x<-1$

$sqrt((x+1-x-1)/((x+1)*-x))=0$ di conseguenza $int 0dx=x+k$

$-1
$sqrt((x+1+x+1)/((x+1)*-x))=sqrt((2(x+1))/((x+1)*-x))=sqrt(2/-x)$ il senso del segno - viene all'intervallo di analisi
per cui $int sqrt(2/-x)dx= 2sqrt2 sqrt(-x)$ sempre in virtù del fatto che in quell'inervallo x è negativo

e infine $x>0$

$sqrt((x+1+x+1)/((x+1)*x))=sqrt((2(x+1))/((x+1)*x))=sqrt(2/x)$
$int sqrt(2/x)dx= 2sqrt2 sqrt(x)$
ma mi è sembrato troppo facile per cui temo di aver commesso qualche errore...secondo voi? grazie

[robbstark1]

Hai fatto bene a dividere, però ci sono degli errori:
$x<-1$: $int0dx=0+k_1$ questo è il più grave.
$-1 $x>0$: $int sqrt(2/x) dx = 2 sqrt2 sqrtx +k_3 $
Così però trovi tre primitive "parziali". La primitiva è una funzione definita per casi, che deve essere continua e derivabile in ogni punto, per cui bisogna studiare le relazioni tra le costanti.

[dany80-votailprof]

ops.....
nel compito k l'ho messo ....solo che non so perchè mi ero convinto che l'integrale di 0 fosse x me tapino.....
grazie ma che significa che bisogna studiare le relazioni tra le costanti?

[robbstark1]

La primitiva richiesta è una funzione del tipo:
$F(x) = {(k_1), (-2 sqrt2 sqrt(-x) +k_2), (2 sqrt2 sqrtx +k_3):}$
Ma la primitiva di una funzione è necessariamente continua e derivabile, quindi i limiti destro e sinistro in ciascuno dei due "punti critici" devono essere uguali.
Alla fine:
$-2sqrt2 + k_2 =k_1 $
$k_2 =k_3 $
Spero sia chiaro il perchè.
In questo modo le costanti arbitrarie si riducono da 3 a 1. Infine dovresti verificare che la funzione così costruita è anche derivabile.

[gugo82]

Ragazzi, scusate un attimo.

Il dominio della funzione qual è?
No, perchè se non lo chiarite penso che vi perdiate un po'...


P.S.: Tra l'altro, questo compito è uguale (modulo una traslazione) a quello presentato qui. Mi sa che frequentate insieme...

[robbstark1]

In effetti non ho verificato che la funzione che trovo è derivabile, d'altronde studiando i valori estremi della funzione integranda nei punti "critici", l'insuccesso era imprevidible. Sostanzialmente l'opera che volevo fare di incollaggio non è fattibile. Il resto era ok, mi pare.

[dany80-votailprof]

be a la funzione di partenza è definita in tutto R eccetto -1 e 0 infatti i segni degli intervalli li escludono per il resto mi sembra ok no?