Integrale

[etec83]

Da tabella ho che

$int 1/(1+x^2)^2 dx = 1/2 (x/(x^2+1)) + 1/2arctg(x) + k$

Ho provato in tutti i modi, ma non riesco a dimostrarla.
Come partire?

[gugo82]

Prova a sommare e sottrarre $x^2$ al numeratore ed a "spezzare" la frazione... Un pezzo si integra facile, l'altro va per parti.

[etec83]

Allora:

$int (1+x^2-x^2)/(1+x^2)^2 dx = int (1+x^2)/(1+x^2)^2 dx - int x^2/(1+x^2)^2 dx$

il primo semplificando numeratore con denominatore si ottiene l'arcotangente, il secondo lo devo fare per parti... ovviamente dovrò prendere

$f'=x^2$ --------> $f =x^3/3$

$g = 1/(1+x^2)^2$ ---------> $g' = - ((4x)(1+x^2)) / (1+x^2)^4 = -(4x) / (1+x^2)^3$

Non mi pare si vada in meglio.

comunque:

$int x^2/(1+x^2)^2 dx = x^3/(3(1+x^2)^2) + int (x^3/3) * (4x) / (1+x^2)^3 dx$

Ed ora qua?

EDIT: alemeno di non risolvere il secondo integrale cambiando variabile $1+x^2 = t$.
Ora provo.

[gugo82]

Nel secondo addendo conviene integrare per parti con fattore differenziale [tex]$-\frac{x}{(1+x^2)^2}=\frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{1}{2} \ \frac{1}{1+x^2} \right]$[/tex] e fattore finito [tex]$x$[/tex].

[etec83]

E così viene corretto, ma come faccio a sapere che [tex]$-\frac{x}{(1+x^2)^2}=\frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{1}{2} \ \frac{1}{1+x^2} \right]$[/tex]???

Moltiplicando sopra e sotto per 2 si vede, ma non è molto intuitivo farlo.

[gugo82]

"etec83":ma come faccio a sapere che [tex]$-\frac{x}{(1+x^2)^2}=\frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{1}{2} \ \frac{1}{1+x^2} \right]$[/tex]???

Moltiplicando sopra e sotto per 2 si vede, ma non è molto intuitivo farlo.

Sono trucchi che si usano sempre, volente o nolente; diventano intuitivi dopo un po' di pratica.

[etec83]

Imparo l'arte e la metto da parte.
Grazie per l'aiuto.