Integrale
Cosa mi sapete dire sul seguente integrale con estremi $[-a,a]$ ?
$int_{-a}^a ((a-x)/(a+x))^x dx$
$int_{-a}^a ((a-x)/(a+x))^x dx$
Risposte
E tu cosa vuoi sapere?
Avrai pur pensato qualcosa o fatto qualche tentativo; illustraci i tuoi pensieri.
Avrai pur pensato qualcosa o fatto qualche tentativo; illustraci i tuoi pensieri.
"Gugo82":
E tu cosa vuoi sapere?
Avrai pur pensato qualcosa o fatto qualche tentativo; illustraci i tuoi pensieri.
Si dunque, non mi ero espresso per evitare di scrivere castronerie viste le mie lacune in analisi...comunque, qualitativamente:
$f(x)=((a-x)/(a+x))^x$
- $f(x)=f(-x)$
- $f(0)=1$ è il limite superiore; la funzione assume valori positivi per $(-a
- $lim_(x->+-oo)~=(-1^-)^x$ $=>$ $f(x)$ $\rightarrow$ $0^-$ esclusi i valori pari di x per cui $f(x)$ $\rightarrow$ $0^+$ quindi avrà un'insieme numerabile di punti di discontiunità di prima specie e dovrebbe essere integrabile. Inoltre mi aspetto un minimo negativo.
$F(x)=\int_0^xf(t)d$
-$F(x)=-F(-x)$
-$F(0)=0$avrà un massimo a $F(a)$ dopodichè il valore della funzione comincerà a calare non so fino a quale valore. Per simmetria avra un minimo a $F(-a)$ con valori che aumenteranno col decrescere delle x.
Ho provato a calcolare l'integrale indefinito confrontando con integrali noti senza trovare corrispondenze.
Dunque, mi chiedevo, l'integrale indefinito è esprimibile con la combinazione di funzioni elementari (in generale è possibile stabilirlo senza calcolare l'integrale esplicitamente?)?
Naturalmente correzioni e aggiunte a quanto ho scritto sopra sono ben accette; però mi interessa sopratutto sapere come vi comportate con integrali apparentemente non noti (come li classificate, quali strumenti utilizzate per calcolarli etc).
Quasi tutto giusto (analisi delle simmetrie, limiti in [tex]$\pm a$[/tex], determinazione del massimo), ma sbagli quando dici che la tua funzione è definita fuori da [tex]$[-a,a]$[/tex].
Infatti la potenza ad esponente reale è definita per basi positive, sicché hai da imporre [tex]$\frac{a-x}{a+x}>0$[/tex] il che ti porta a [tex]$x\in ]-a,a[$[/tex] (se [tex]$a>0$[/tex], cosa che non hai specificato); inoltre, dato che hai già notato che la funzione si prolunga con continuità su [tex]$\{ \pm a\}$[/tex], puoi considerare [tex]$\left( \frac{a-x}{a+x} \right)^x$[/tex] come definita in tutto [tex]$[-a,a]$[/tex].
Perciò non ha senso calcolare il [tex]$\lim_{x\to \pm \infty}$[/tex], parlare di discontinuità, etc...
L'integrale esiste finito perchè la funzione [tex]$\left( \frac{a-x}{a+x} \right)^x$[/tex] è continua in [tex]$[-a,a]$[/tex] (sempre se [tex]$a>0$[/tex]); d'altra parte esso non è elementarmente calcolabile, giacché [tex]$\left( \frac{a-x}{a+x} \right)^x$[/tex] non ha una primitiva esprimibile elementarmente.
Cosa succede per [tex]$a<0$[/tex]?
Infatti la potenza ad esponente reale è definita per basi positive, sicché hai da imporre [tex]$\frac{a-x}{a+x}>0$[/tex] il che ti porta a [tex]$x\in ]-a,a[$[/tex] (se [tex]$a>0$[/tex], cosa che non hai specificato); inoltre, dato che hai già notato che la funzione si prolunga con continuità su [tex]$\{ \pm a\}$[/tex], puoi considerare [tex]$\left( \frac{a-x}{a+x} \right)^x$[/tex] come definita in tutto [tex]$[-a,a]$[/tex].
Perciò non ha senso calcolare il [tex]$\lim_{x\to \pm \infty}$[/tex], parlare di discontinuità, etc...
L'integrale esiste finito perchè la funzione [tex]$\left( \frac{a-x}{a+x} \right)^x$[/tex] è continua in [tex]$[-a,a]$[/tex] (sempre se [tex]$a>0$[/tex]); d'altra parte esso non è elementarmente calcolabile, giacché [tex]$\left( \frac{a-x}{a+x} \right)^x$[/tex] non ha una primitiva esprimibile elementarmente.
Cosa succede per [tex]$a<0$[/tex]?
"Gugo82":
...d'altra parte esso non è elementarmente calcolabile, giacché [tex]$\left( \frac{a-x}{a+x} \right)^x$[/tex] non ha una primitiva esprimibile elementarmente.
Cosa succede per [tex]$a<0$[/tex]?
$f(x)$ con $a<0$ è equivalente a $((-a-x)/(-a+x))^x$ con $a>0$ $\rightarrow$ $f(x)=((x+a)/(x-a))^x$ $(a>0)$ che presenta signolarità per $x=a$, $x=-a$
Ma tornando a [tex]$\left( \frac{a-x}{a+x} \right)^x$[/tex] $(a>0)$ come sei giunto alla conclusione che non ha una primitiva elementare?
Stavo considerando le analogie della suddetta funzione con la gaussiana:
$lim_(x->0\alpha->oo)((\alpha-x)/(\alpha+x))^x=e^(-\betax^2)$
ponendo $z=1/x$ devo dimostrare l'uguaglianza:
$((z+1/\alpha)/(z-1/\alpha))^z=e^\beta$
$k=1/\alpha$
e sviluppo $f(k)=((z+k)/(z-k))=1+2(k/z)-2(k/z)^2+...$
approssimando al primo ordine si ha il limite notevole:
$(1+2/\alphax)^(1/x)=e^(\alpha/2)$ $=>$ $\beta=2/\alpha$
Inoltre valutando numericamente ho riscontrato questo andamento:
$lim_(\alpha->oo)\int_-\alpha^\alpha((\alpha-x)/(\alpha+x))^xdx=\int_-oo^ooe^-(2/\alphax^2)dx=sqrt((\pialpha)/2)$
Nulla di oggettivo comunque. Sarebbe interessante valutare l'integrale esatto:
$\int_-\alpha^\alpha((\alpha-x)/(\alpha+x))^xdx$
Ho provato a procedere per analogia con questa dimostrazione http://en.wikipedia.org/wiki/Sophomore%27s_dream senza successo
$lim_(x->0\alpha->oo)((\alpha-x)/(\alpha+x))^x=e^(-\betax^2)$
ponendo $z=1/x$ devo dimostrare l'uguaglianza:
$((z+1/\alpha)/(z-1/\alpha))^z=e^\beta$
$k=1/\alpha$
e sviluppo $f(k)=((z+k)/(z-k))=1+2(k/z)-2(k/z)^2+...$
approssimando al primo ordine si ha il limite notevole:
$(1+2/\alphax)^(1/x)=e^(\alpha/2)$ $=>$ $\beta=2/\alpha$
Inoltre valutando numericamente ho riscontrato questo andamento:
$lim_(\alpha->oo)\int_-\alpha^\alpha((\alpha-x)/(\alpha+x))^xdx=\int_-oo^ooe^-(2/\alphax^2)dx=sqrt((\pialpha)/2)$
Nulla di oggettivo comunque. Sarebbe interessante valutare l'integrale esatto:
$\int_-\alpha^\alpha((\alpha-x)/(\alpha+x))^xdx$
Ho provato a procedere per analogia con questa dimostrazione http://en.wikipedia.org/wiki/Sophomore%27s_dream senza successo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo