Integrale

[*brssfn76]

Da un problema sui polinomi ortogonali per il calcolo di un coefficente raggiungo questo integrale da calcolare:

$a_n= \int_-1^1 d^n/(dx)^n [(1-x^2)^n](1+x)^(-1/2) dx$

Ora per risolverlo dovrei integrare per parti n volte e il libro che mi da la soluzione mi dice che le parti integrate sono nulle cioè l'i-esimo integrale per parti calcolato sarebbe $[d^(n-i)/(dx)^(n-i) [(1-x^2)^n] d^(i-1)/(dx)^(i-1)(1+x)^(-1/2)]_-1^1$
dove i
bhe non riesco a dimostrare che gli i-esimi termini sono tutti nulli; su un estremo si perviene ad una forma indeterminata..
avete una idea?


grazie

[gugo82]

Basta controllare l'ordine degli zeri...

Mi spiego: la funzione [tex](1-x^2)^n[/tex] ha due zeri d'ordine [tex]n[/tex] in [tex]\pm 1[/tex]; questo significa che tutte le derivate di [tex](1-x^2)^n[/tex] fino a quelle d'ordine [tex]n-1[/tex] si annullano in [tex]\pm 1[/tex] e la derivata [tex]n-i[/tex]-esima [tex]D^{n-i} (1-x^2)^n[/tex] ha zeri d'ordine [tex]n-(n-i)=i[/tex] in [tex]\pm 1[/tex].
Ciò accomoda tutte le derivate di [tex](1-x^2)^n[/tex] fino alla [tex]n-1[/tex]-esima.

D'altra parte, avendosi per ricorrenza [tex]D^k (1+x)^{-1/2}=(-1)^k \frac{(2k-1)!!}{2^k} (1+x)^{-k-\frac{1}{2}}[/tex], si vede che ponendo [tex]k=i-1[/tex] la funzione [tex]D^{i-1} (1+x)^{-1/2}[/tex] ha in [tex]1[/tex] un punto regolare (è continua), mentre in [tex]-1[/tex] è un infinito d'ordine [tex]i-\frac{1}{2}[/tex].

Perciò il prodotto [tex]D^{n-i} (1-x^2)^n \cdot D^{i-1} (1+x)^{-1/2}[/tex] ha in [tex]1[/tex] uno zero d'ordine [tex]i[/tex] ed in [tex]-1[/tex] uno zero d'ordine[tex]i-(i-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}[/tex].

Che ne dici? Funziona?

[*brssfn76]

Grazie

Ora posso concentrarmi su quello che è rimasto nell'integrale