Integrale
3. Considerata la funzione $F(x)=\int_0^(senx)ln(1+|sent|)dt$ determinare il suo polinomio di Mac-Laurin d’ordine 2.
io ho risolto cosi.
$F(0)+F'(0)x+F''(0)x^2-:2$ dove $F'(x)=cosx*ln(1+|sen(senx)|). F(0)=0$
chiedo conferma grazie
io ho risolto cosi.
$F(0)+F'(0)x+F''(0)x^2-:2$ dove $F'(x)=cosx*ln(1+|sen(senx)|). F(0)=0$
chiedo conferma grazie
Risposte
Il polinomio si scrive $F(0)+F'(0)*x+(F''(0))/2*x^2$; qui $F(0)$ sai quanto vale, $F'$ la calcoli col teorema di derivazione delle funzioni composte ed il teorema fondamentale del Calcolo Integrale, quindi sai anche quanto è $F'(0)$... L'unica seccatura è il calcolo di $F''$ che è un po' laborioso.
ho scritto bene F'(x)? grazie
A me sembra che
$F'(x)=\cos x\cdot\ln(1+|\sin(\sin x)|)$
e non ciò che hai scritto tu.
$F'(x)=\cos x\cdot\ln(1+|\sin(\sin x)|)$
e non ciò che hai scritto tu.
"ciampax":
A me sembra che
$F'(x)=\cos x\cdot\ln(1+|\sin(\sin x)|)$
e non ciò che hai scritto tu.
si ho sbagliato a derivare sen(x). comunque il resto è giusto?
Sisi.
$F(0)=0$ perchè gli estremi d'integrazione coincidono; $F'(0)$ si calcola facile.
Ora devi derivare una seconda volta e vedere che ne esce...
P.S.: Riesci a dimostrare che nello sviluppo devono essere presenti solo potenze pari? Mi pare facile...
$F(0)=0$ perchè gli estremi d'integrazione coincidono; $F'(0)$ si calcola facile.
Ora devi derivare una seconda volta e vedere che ne esce...
P.S.: Riesci a dimostrare che nello sviluppo devono essere presenti solo potenze pari? Mi pare facile...
"Gugo82":
Sisi.
$F(0)=0$ perchè gli estremi d'integrazione coincidono; $F'(0)$ si calcola facile.
Ora devi derivare una seconda volta e vedere che ne esce...
P.S.: Riesci a dimostrare che nello sviluppo devono essere presenti solo potenze dispari? Mi pare facile...
ma non sono pari le potenze?
Sisi, pari... Ho sbagliato a scrivere prima. 
Ora correggo anche sopra.
Ora correggo anche sopra.
"Gugo82":
Sisi.
$F(0)=0$ perchè gli estremi d'integrazione coincidono; $F'(0)$ si calcola facile.
Ora devi derivare una seconda volta e vedere che ne esce...
P.S.: Riesci a dimostrare che nello sviluppo devono essere presenti solo potenze pari? Mi pare facile...
nei termini pari compare cos(x) e in quelli diapari sen(x) che calcolati in 0 danno 1 e 0 rispettivamente
Io penso ti convenga verificare se la $F$ sia una funzione pari; fatta tale verifica, saresti a cavallo, poiché nello sviluppo di McLaurin di una funzione pari [risp. dispari] compaiono solo potenze pari [risp. dispari].
"Gugo82":
Io penso ti convenga verificare se la $F$ sia una funzione pari; fatta tale verifica, saresti a cavallo, poiché nello sviluppo di McLaurin di una funzione pari [risp. dispari] compaiono solo potenze pari [risp. dispari].
non la conoscevo questa osservazione grazie
Proviamo a dimostrarla...
Evidentemente basta mostrare che se una funzione pari è derivabile intorno a $0$, allora la derivata è una funzione dispari; e iceversa, che se una funzione dispari è derivabile intorno a $0$, allora la derivata è una funzione pari.
Ad occhio, si fa coi rapporti incrementali.
Provato ciò, diciamo che $f$ è pari e di classe $C^oo$ intorno a $0$: allora $f'$ è dispari, $f''$ è pari, ..., $f^((2n-1))$ è dispari, $f^((2n))$ è pari, ...; visto che le derivate d'ordine dispari sono dispari, esse sono tutte nulle in $x=0$ e ciò significa che i coefficienti delle potenze di grado dispari di $x$ che figurano nella serie di MacLaurin sono nulli.
Pertanto nello sviluppo in serie di MacLaurin di una funzione pari compaiono unicamente potenze pari della variabile.
Mutatis mutandis, per le funzioni dispari si ragiona allo stesso modo.
Evidentemente basta mostrare che se una funzione pari è derivabile intorno a $0$, allora la derivata è una funzione dispari; e iceversa, che se una funzione dispari è derivabile intorno a $0$, allora la derivata è una funzione pari.
Ad occhio, si fa coi rapporti incrementali.
Provato ciò, diciamo che $f$ è pari e di classe $C^oo$ intorno a $0$: allora $f'$ è dispari, $f''$ è pari, ..., $f^((2n-1))$ è dispari, $f^((2n))$ è pari, ...; visto che le derivate d'ordine dispari sono dispari, esse sono tutte nulle in $x=0$ e ciò significa che i coefficienti delle potenze di grado dispari di $x$ che figurano nella serie di MacLaurin sono nulli.
Pertanto nello sviluppo in serie di MacLaurin di una funzione pari compaiono unicamente potenze pari della variabile.
Mutatis mutandis, per le funzioni dispari si ragiona allo stesso modo.
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