Integrale

[djyoyo]

Ciao a tutti, mentre facevo degli esercizi mi sono trovato di fronte a questo integrale:

$\int_{1}^{+oo} x^x dx$


avevo pensato di calcolarlo come confronto con $e^x$ ma non mi sembra una buona idea.. d'altronde non trovo un modo sul come calcolare la primitiva.. suggerimenti?

[*Elisa*113]

Ciao!
Io procederei con il vedere che $x^x=e^(xlnx)$ e poi successivamente porre $e^x=t$ risolvendo l'integrale per parti... questa però è solo un'idea

[djyoyo]

ciao elisa
c'avevo provato perché mi era venuta in mente quest'idea dal limite sempre di $x^x$ però non sono andato lontano.. ora ci riprovo..

[ciampax]

Mi sorge un dubbio: sei certo degli estremi di integrazione? Perché il dominio della funzione $x^x$ è $(0,+\infty)$ e quindi non è definita sull'intervallo su cui la stai integrando!

[dissonance]

Ha ragione ciampax (imho). Aggiungo poi che se l'intervallo di integrazione fosse $[0, infty)$ il risultato dovrebbe essere $+infty$: si tratta infatti di una funzione continua (anche in 0? non proprio - ma di sicuro è prolungabile per continuità), positiva e infinita all'infinito.

[djyoyo]

si scusate avete ragione voi .. ho scritto estremi sbagliati, da $1$ a $+oo$.. sul libro porta come risultato convergente.. però non saprei come fare.. con cosa la confronto?

[ciampax]

Convergente? Ma neanche in un milione di anni! Non è che, magari, la funzione da integrare è $x^{-x}$ ?

[djyoyo]

no ho controllato.. che si siano sbagliati a mettere il risultato? E' un libro o meglio una sorta di mega-dispensa che ho trovato insieme agli appelli di analisi..
in effetti sembrava strano anche a me perchè l unico integrale con cui lo posso confrontare è $e^x$ che di fatto diverge giusto?

[gugo82]

Già; $x^x >"e"^x$ per $x$ abbastanza grande (ad occhio, direi per $x>"e"$), quindi se l'integrale $\int_c^(+oo) "e"^x" d"x$ diverge...