Integrale

[euclidegirl]

salve a tutti, io ho questo integrale

$\int_{-x^2$+1}^4$

e devo risolverlo. solo che non capisco perchè nella risoluzione si trovi 1/2...cioè non capisco da dove salta fuori.
chi me lo può spiegare? grazie

[ciampax]

Ehm.... quale è l'integrale? Non è che si capisca molto. Suppongo sia

$\int (-x^2+1)^4\ dx$

Giusto?

[euclidegirl]

sarebbe integrale di (x elevato alla seconda + 1) elevato alla quarta per x dx

[euclidegirl]

scusate ma faccio ancora un pò di casini a scrivere le formule sul forum

[ciampax]

Ok, quindi è questo:

$\int (x^2+1)^4\ x\ dx$.

Bene, tu come procederesti? Una idea?

[euclidegirl]

allora io scriverei: integrale di ( x alla seconda + 1) elevato alla quarta per 2x

[euclidegirl]

come dice la formula...solo che nella risoluzione del libro salta fuori un 1/2 cje non capisco da dove arrivi

[ciampax]

Per scrivere quel $2x$ non puoi fare apparire il $2$ dal nulla! Per farlo, devi moltiplicare e dividere per $2$ così da ottenere una uguaglianza. Quindi

$\int x(x^2+1)^4\ dx=1/2\int 2x(x^2+1)^4\ dx$.

Il resto da fare ti è chiaro?

[euclidegirl]

ma in classe li abbiamo fatti senza sviluppare la potenza

[euclidegirl]

ciampax quindi la devo moltiplicare per 2 per la regola...perfetto..ma quindi si fa così in tutt questi casi?

[ciampax]

In generale sì. Però io ti suggerisco un altro metodo, che è quello di sostituzione e che ti evita di scervellarti a trovare queste costanti. Nel tuo caso procedi così:

posto $x^2+1=t$ hai che $2x\ dx=dt$ (applicando i differenziali) e quindi

$\int 2x(x^2+1)^4\ dx=\int t^4\ dt=\frac{t^5}{5}+c=\frac{1}{5}(x^2+1)^5+c$.

Se hai problemi, chiedi.

[GIBI1]

applica il metodo urang-utang:

$1/2 \int (x^2+1)^4 d(x^2+1)$

[euclidegirl]

si il resto da fare è chiarissimo...l'unica cosa che non mi tornava era quel 1/2

[euclidegirl]

grazie mille dell'ulteriore consiglio solo che i differenziali non li abbiamo ancora fatti!!! grazie ancora!!

[GIBI1]

$df=f'dx$, fai la derivata e poi moltiplica per $dx$.

Quanto ai differenziali, non li farai mai: sono stati messi all'indice.

[ciampax]

"GIBI":$df=f'dx$, fai la derivata e poi moltiplica per $dx$.

Quanto ai differenziali, non li farai mai: sono stati messi all'indice.

Che significa che i differenziali sono stati messi all'indice???

[GIBI1]

… nel senso che con l’avanzata incontrastata di Weierstrass ($\epsilon-\delta$ , per intenderci), Leibnitz ha battuto la ritirata e del differenziale è rimasto solo il fastidioso nome, svuotato quasi completamente del significato originario.

Ma ritornerà, ritornerà.