Integrale

[Rinhos]

ciao a tutti, sono incastrato su questo integrale che a prima vista non sembra difficile ma non so proprio come cavarmene:

$int x/(x^2+3x+2) dx$

ho provato a ricondurmi nella forma $int (u'(x))/(u(x))dx$ per trovare la derivata del logaritmo, ma per farlo mi ricondurrei a un integrale ancora piu' complesso. Per parti non si combina niente e per sostituzione men che meno, inoltre la soluzione fa pensare che devo pensare quella funzione come derivata di un qualche logaritmo, suggerendo il primo ragionamento.
Dove sbaglio?

[Mach2]

Penso che stessi facendo bene, in quel modo troveresti un integrale che porta al logaritmo del denominatore ed ad un altro integrale facile da fare in quanto ci sarebbe solo da scomporre $x^2+3x+2$

[Andrea902]

Considerato che il denominatore è fattorizzabile, essendo $Delta>0$, fattorizzalo e applica il principio di identità dei polinomi, dopo aver scomposto la frazione nel seguente modo:
$A/(x+1)+B/(x+2)$ ...

[Rinhos]

"Andrea90":Considerato che il denominatore è fattorizzabile, essendo $Delta>0$, fattorizzalo e applica il principio di identità dei polinomi, dopo aver scomposto la frazione nel seguente modo:
$A/(x+1)+B/(x+2)$ ...

ah, ok sono andato a vedermi questo procedimento che non conoscevo. Vi illustro i passaggi, spero che siano giusti

allora moltiplico e divido per 2, in piu' aggiungo e tolgo 3 al numeratore. mi resta:

$1/2 int (2x+3-3)/(x^2+3x+2) dx = 1/2 log(x^2+3x+2) - 3int 1/(x^2+3x+2) dx$

ora so che $1/(x^2+3x+2) = 1/(x+1) - 1/(x+2)$ dunque mi riconduco a

$1/2 log(x^2+3x+2) - 3int 1/(x+1) dx + 3int 1/(x+2) dx = 1/2 log(x^2+3x+2) - 3log(x+1) + 3log(x+2)$

vi chiederei conferma di ciò

[adaBTTLS1]

non ho controllato i passaggi, ma quado il numeratore è di primo grado non vale la pena, avendo il denominatore di secondo grado con discriminante positivo, trasformare prima la frazione in modo da avere un termine con il numeratore uguale alla derivata del denominatore ed un altro termine con il numeratore di grado zero: si può procedere direttamente con il metodo dei fratti semplici. di fatto, il termine ottenuto ($1/2log|x^2+3x+2|$), se scomponi l'argomento ed applichi le proprietà dei logaritmi, diventa una combinazione lineare dei termini che otterrai dopo dagli altri due integrali ...
spero sia chiaro. ciao.

[adaBTTLS1]

ho controllato: hai dimenticato 1/2, per cui negli ultimi integrali viene -3/2 e non -3 come coefficiente. non trascurare inoltre il valore assoluto.
fatto direttamente con il metodo che ti suggerivo (come diceva anche Andrea90), avresti A=-1, B=2, e dunque:
$int\x/(x^2+3x+2)dx=-int\1/(x+1)dx+2int\1/(x+2)dx=-ln|x+1|+2ln|x+2|+C$.
prova a ricontrollare. ciao.

PS: effettivamente, se tieni conto della nota precedente, $1/2-3/2=-1$ e $1/2+3/2=+2$, e i coefficienti tornano...

[Rinhos]

adesso ho capito, grazie mille

[adaBTTLS1]

prego.