Integrale

[dany80-votailprof]

Ciao ragazzi, oggi ho avuto il tanto sospirato scritto di analisi 1, devo essere onesto mi aspettavo un compito più difficile, anche se non sono riuscito a risolverlo tutto, lo studio di funzione non era particolarelmente difficile $f(x)=(|logx|^3)/(x^2)$ che non era tanto difficile, invece qualche difficoltà me l'ha data questo integrale definito da 0a 2
$int arctan((|x^2-x|+x)/(x^2))$
non ci sono arrivato per mancanza di idee e tempo ma non ritengo fosse particolaremte difficile, sono arrivato solo ad impostarlo, nell'intervallo di integrazione la funzione non è sempre la stessa, ho pensato di togliere il valore assoluto $|x^2-x|$ per cui $0<=x<1$ questo diventa $-x^2+x$ per tutti gli altri valori invece $x^2-x$ in virtù di questo ho riscritto l'integrale come:

$int arctan((2x-x^2)/(x^2)) +int arctan(1) $
il primo da 0 a 1 e il secondo da 1 a 2, per quanto riguarda il secondo naturalmate arctan 1 vale $(pi)/2$ e il tutto si riduce all'integrale di una costante il primo non ci sono arrivato a svolgerlo anche se adesso ripensandoci forse avrei dovuo sconporlo in $cos(x)/(sen(x))$ dopo aver semplificato l'argomento della funzione con un sostituzione.
naturalmente c'erano anche le serie numeriche che non ho nemmeno toccato visto che sono bianco totale!
Grazie tante per tutto l'aiuto che fornite in questo forum è davvero grande.

[@melia]

Che ne pensi di una integrazione per parti con 1 come fattore differenziale e $arctan((2-x)/x)$ come fattore finito?

[dany80-votailprof]

penso che avevo ragione che non era poi cosi' difficile, in quel momento non ci ho nemmeno pensato, ora ci provo grazie per la dritta

[dany80-votailprof]

comunque era corretto allora spezzare l'integrale in due parti?

[andre85-votailprof]

Mi sa che con dany80 siamo colleghi Anch'io ho avuto quel compito identico ieri ed ho eseguito solo lo studio della funzione Stavo aprendo un topic nuovo con questo integrale ma visto che c'è già non ce bisogno.

Eseguendo l'integrazione per parti nel caso di $0<=x<1$ sono arrivato a questo punto:

$x*arctan((2-x)/x)-\int_0^2((x^3)/(x^2-4x+4))dx$

se ho scritto giusto mi servirebbe l'input per proseguire perchè ho le idee confuse...

[adaBTTLS1]

se è giusto, adesso è facile: devi eseguire la divisione tra numeratore e denominatore e trasformare la frazione in $Q(x)+[(R(x))/(x-2)^2]$. è chiaro? ciao.

[Covenant]

"andre85":Mi sa che con dany80 siamo colleghi Anch'io ho avuto quel compito identico ieri ed ho eseguito solo lo studio della funzione Stavo aprendo un topic nuovo con questo integrale ma visto che c'è già non ce bisogno.

Eseguendo l'integrazione per parti nel caso di $0<=x<1$ sono arrivato a questo punto:

$x*arctan((2-x)/x)-\int_0^2((x^3)/(x^2-4x+4))dx$

se ho scritto giusto mi servirebbe l'input per proseguire perchè ho le idee confuse...

non ho controllato i conti prima ma fondamentalmente adesso devi risolvere $int_0^2((x^3)/(x^2-4x+4))dx$ che è l'integrale di una funziona razionale fratta e si risolve con metodi standard. Quindi il consiglio è di spezzare quella frazione con i metodi noti.

[dany80-votailprof]

infatti sono arrivato alla stessa frazione, mi resta solo da eseguire la divisione, mi fa rabbia che in quel momento non sia arrivato a questa conclusione, voglio dire non era cosiì difficile.
Andre85 che sei anche tu ing. a Catania? lo studio di funzione l'hai completato tutto anche il punto 4? alla fine era una stupidagine solo che non mi ricordavo la derivata della funzione inversa...mannaggia..

[dany80-votailprof]

allora se non ho sbagliato i calcoli il risultato di quell'integrale doverebbe essere $(X^2)/2+4x+12 ln(x-2)-8/(x-2)$ otenuto sompèonendo il denominatore in $(x-2)^2$ e dividendo il denominatore con ruffini per 2 per due volte in pratica:
$(x^3)/(x-2)^2=((x-2)(x^2+2x+4)+8)/(x-2)^2= (x^2+2x+4)/(x-2) + 8/(x-2)^2= ((x-2) (x+4)+12)/(x-2) +8/(x-2)^2= (x+4) +12/(x-2) +8/(x-2)^2

per cui alla fine quell'integrale si riduce in:
$int (x+4) +int(12/(x-2)) + int(8/(x-2)^2) $ che sono tutti integrali immediati

alla fine credo si debba fare il limite per a che tende a 0 visto che l'argomento dell' arctan ha una x a denominatore, però mi lascia perplesso il termine $ln(x-2)$ per x=0 questo limite non esiste....

alla fine come pensavo non era tanto difficile era solo un pò antipatico per via del fatto che le polinomiali sono lunghe per i calcoli algebrici e le divisioni....

[andre85-votailprof]

Ma nel secondo passaggio non dovrebbe venire $(x-2)(x^2-2x+4)+8$ al nominatore?

PS:Comunque si dany80, sono in Ing. a CT...Nello studio della funzione proprio il quarto punto non l'ho fatto Alla fine infatti mi sono ritirato e non ho consegnato...

[andre85-votailprof]

a me alla fine è risultato così e anche derive nell'integrale mi ha dato questo risultato:

$\int_0^2arctan((2-x)/x) dx=x*arctan((2-x)/x)-[x^2/2+4x+12*ln(x-2)-8/(x-2)]_0^2=???$

Se ho fatto giusto arrivato a questo punto come dovrei comportarmi?

[andre85-votailprof]

Qualcuno puoi darmi una mano per favore? Senza il vostro aiuto non riesco ad arrivare al punto finale..

[dany80-votailprof]

hai ragione ho sbagliato a digitare ma i conti li avevo fatti corretti , ora ho corretto il post deve venire:
$((x-2)(x^2+2x+4)+8)$ come hai scritto tu invence se fai il prodotto al numeratore viene $x^3-4x^2$.
io venerdì vado a vedere il risultato e fare eventualmente l'orale....

[dany80-votailprof]

"andre85":a me alla fine è risultato così e anche derive nell'integrale mi ha dato questo risultato:

$\int_0^2arctan((2-x)/x) dx=x*arctan((2-x)/x)-[x^2/2+4x+12*ln(x-2)-8/(x-2)]_0^2=???$

Se ho fatto giusto arrivato a questo punto come dovrei comportarmi?

tu considera che questa funzione è valida solo nell'intervallo $0

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