Integrale
1)
sia $X={u\inC^1[0,1]: u(0)=u(1)=0}$
dimostrare che esiste $C>0$ tale che
$C\int_0^1 |u(x)|^2 dx\leq\int_0^1 |u^{'}(x)|^2 dx$ per ogni $u\in X$
e dimostrare che è falsa per $C>\pi^2$
2)
come si calcola $int_{RR}e^{-x^2}$?
allora io per 1) ho cercato di usare lagrange e ottengo
$|u(x)-u(0)|^2=|u^{'}(y)|^2 |x-0|^2$ ma non è che riesco ad andare lontano così.
per il 2) invece mi ricordo che si passa a coordinate polari integrando su $RR^2$ ma non mi è chiaro cm.
sia $X={u\inC^1[0,1]: u(0)=u(1)=0}$
dimostrare che esiste $C>0$ tale che
$C\int_0^1 |u(x)|^2 dx\leq\int_0^1 |u^{'}(x)|^2 dx$ per ogni $u\in X$
e dimostrare che è falsa per $C>\pi^2$
2)
come si calcola $int_{RR}e^{-x^2}$?
allora io per 1) ho cercato di usare lagrange e ottengo
$|u(x)-u(0)|^2=|u^{'}(y)|^2 |x-0|^2$ ma non è che riesco ad andare lontano così.
per il 2) invece mi ricordo che si passa a coordinate polari integrando su $RR^2$ ma non mi è chiaro cm.
Risposte
Per il 2: $int int_(RR^2)e^(-(x^2+y^2))"d"x"d"y=(int_(RR)e^(-x^2)"d"x)^2$.
e come mai vale quella formula?
cmq 1) ll'ho risolto.
cmq 1) ll'ho risolto.
$(int_(RR) e^(-x^2)"d"x)^2=int_(RR) e^(-x^2)"d"x * int_(RR) e^(-x^2)"d"x=int_(RR) e^(-x^2)"d"x * int_(RR) e^(-y^2)"d"y=int int_(RR^2) e^(-x^2+y^2)"d"x "d"y$.
Come hai risolto il primo?
Come hai risolto il primo?
non mi è chiaro l'ultimo passaggio che fai! come mai il prodotto degli integrali è uguale all'integrale su tutto $RR^2$ ????
"miuemia":
non mi è chiaro l'ultimo passaggio che fai! come mai il prodotto degli integrali è uguale all'integrale su tutto $RR^2$ ????
Ok, non ti era chiaro in questo senso. Come ha detto Paola, puoi applicare Tonelli (o Fubini + carabinieri).
ok grazie mille. chiaro
La prima dovrebbe essere essere vera anche più genericamente... dovrebbe essere uguale per lo spazio di Sobolev $W^(1,2)$... credo si chiami disuguaglianza di Holder perchè si applica l'holder classico nella dimostrazione...
credo abbiano detto C^1 perchè così ci si scrive tranquillamente
$u(x)=\int_0^xu'(t)dt$
senza stare a pensare che questa scrittura ha senso anche con ipotesi più deboli che magari non ci si ricorda al momento... perchè la dimostrazione dovrebbe essere sempre quella...
anyway non capisco il motivo della condizione u(1)=0, forse per rompere le palle a chi deve trovare un contro-esempio per il secondo punto?
la dimostrazione non la scrivo perchè lo fa mieumia (non si lasciano le discussioni a metà!)...
anyway mieumia per curiosità stai preparando per caso qualche esame di ammissione?
credo abbiano detto C^1 perchè così ci si scrive tranquillamente
$u(x)=\int_0^xu'(t)dt$
senza stare a pensare che questa scrittura ha senso anche con ipotesi più deboli che magari non ci si ricorda al momento... perchè la dimostrazione dovrebbe essere sempre quella...
anyway non capisco il motivo della condizione u(1)=0, forse per rompere le palle a chi deve trovare un contro-esempio per il secondo punto?
la dimostrazione non la scrivo perchè lo fa mieumia (non si lasciano le discussioni a metà!)...
anyway mieumia per curiosità stai preparando per caso qualche esame di ammissione?
un pò di educazione nel rispondere no eh? bah...
scusa thomas... il mio wi fi mi ha dato problemi. no nn sto preparando nessun esame di ammissione. sono al 4 anno di matematica e ptima che inizino dei corsi mi sto facendo un po di esercizi molto vari. tu sei già per il dottorato?
OK scusa è che sono un pò paranoico con chi non mi risponde.... no ho appena finito il terzo anno di fisica....
lo chiedevo perchè conosco un pò di persone che stanno preparando dei concorsi di ammissione per il dottorato in questo periodo ed allora mi sono incuriosito....
ciao
lo chiedevo perchè conosco un pò di persone che stanno preparando dei concorsi di ammissione per il dottorato in questo periodo ed allora mi sono incuriosito....
ciao
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