Integrale
ho qualche problemino col seguente integrale:
$int(2x^2-x-1)/(sqrtxe^sqrtx)dx$
pensavo di procedere per sostituzione con $sqrtx=t$. tuttavia non so procedere oltre per parti...
$int(2x^2-x-1)/(sqrtxe^sqrtx)dx$
pensavo di procedere per sostituzione con $sqrtx=t$. tuttavia non so procedere oltre per parti...
Risposte
Con la tua sostituzione si arriva ma c'è prima un diluvio di calcoli. Prova con la sostituzione $t=e^{-sqrt{x}}$, così sparisce il denominatore. Forse fai prima!
"bad.alex":
ho qualche problemino col seguente integrale:
$int(2x^2-x-1)/(sqrtxe^sqrtx)dx$
pensavo di procedere per sostituzione con $sqrtx=t$. tuttavia non so procedere oltre per parti...
Sbaglio o tutto d'un tratto hai cambiato l'integrale che c'era scritto? Io ho passato mezz'ora a scriverlo con le formule di matematicamente, poi ho aggiornato la pagina e avevi cambiato l'integrale...mah...tra l'altro quello che hai scritto prima di integrale lo ho risolto in modo corretto, e non per parti come pensavi tu...beh se ti interessa fammi sapere...ci sono dei trucchetti...vabbè...
Sbaglio o tutto d'un tratto hai cambiato l'integrale che c'era scritto? Io ho passato mezz'ora a scriverlo con le formule di matematicamente, poi ho aggiornato la pagina e avevi cambiato l'integrale...mah...tra l'altro quello che hai scritto prima di integrale lo ho risolto in modo corretto, e non per parti come pensavi tu...beh se ti interessa fammi sapere...ci sono dei trucchetti...vabbè...[/quote]
io sono arrivato al risultato ma non so se correttamente. ho trovato:
$(1/2)(sqrt(2x^2+x+1))-(sinh^-1((4x+1)/sqrt7))/(4sqrt2)$.
il problema è il calcolo per la prima parte. non so come ma mi è risultato in questo modo. non so se è sbagliato ma se hai un suggerimento, una scorciatoia per risolver....
v ringrazio per l'aiuto.
ps.nirvana...suggerisci suggerisci. scusami se l'ho cambiato ma non volevo aprire un altro topic per un altro ntegrale...e poichè a quello ero arrivato ad un risultato...incerto...ma ad un risultato...
cmq l'integrale di cui stiamo parlando io e nirvana è
$intx/(sqrt(2x^2+x+1))$
io sono arrivato al risultato ma non so se correttamente. ho trovato:
$(1/2)(sqrt(2x^2+x+1))-(sinh^-1((4x+1)/sqrt7))/(4sqrt2)$.
il problema è il calcolo per la prima parte. non so come ma mi è risultato in questo modo. non so se è sbagliato ma se hai un suggerimento, una scorciatoia per risolver....
v ringrazio per l'aiuto.
ps.nirvana...suggerisci suggerisci. scusami se l'ho cambiato ma non volevo aprire un altro topic per un altro ntegrale...e poichè a quello ero arrivato ad un risultato...incerto...ma ad un risultato...
cmq l'integrale di cui stiamo parlando io e nirvana è$intx/(sqrt(2x^2+x+1))$
"dissonance":
Con la tua sostituzione si arriva ma c'è prima un diluvio di calcoli. Prova con la sostituzione $t=e^{-sqrt{x}}$, così sparisce il denominatore. Forse fai prima!
mi risulta $2x^2+8x^(3/2)+23x+46sqrtx+45)$...manca qualcosa....
non capisco...da dove viene quell'espressione in $x$? io dicevo:
$t=e^{-sqrt{x}}$, si intende per $x>0$, allora la sostituzione inversa è $x=log^2 t$, per $t\in(0,1)$. La derivata di $e^{-sqrt{x}}$ è $\frac{1}{-2sqrt{x}e^{sqrt{x}}}$, e quindi dopo la sostituzione l'integrale è $-2\int[2(log t)^4-(log t)^2-1]\ dt$. E rimangono da smaltire quei logaritmi ma mi pare un netto passo avanti. Fammi sapere! ciao.
$t=e^{-sqrt{x}}$, si intende per $x>0$, allora la sostituzione inversa è $x=log^2 t$, per $t\in(0,1)$. La derivata di $e^{-sqrt{x}}$ è $\frac{1}{-2sqrt{x}e^{sqrt{x}}}$, e quindi dopo la sostituzione l'integrale è $-2\int[2(log t)^4-(log t)^2-1]\ dt$. E rimangono da smaltire quei logaritmi ma mi pare un netto passo avanti. Fammi sapere! ciao.
"dissonance":
non capisco...da dove viene quell'espressione in $x$? io dicevo:
$t=e^{-sqrt{x}}$, si intende per $x>0$, allora la sostituzione inversa è $x=log^2 t$, per $t\in(0,1)$. La derivata di $e^{-sqrt{x}}$ è $\frac{1}{-2sqrt{x}e^{sqrt{x}}}$, e quindi dopo la sostituzione l'integrale è $-2\int[2(log t)^4-(log t)^2-1]\ dt$. E rimangono da smaltire quei logaritmi ma mi pare un netto passo avanti. Fammi sapere! ciao.
ho svolto nel seguente modo:
$-2[int(2logt^4-logt^2-1)dt]=-2((int(2logt)^4dt)-int(logt^2)dt-intdt)=$
$-2(2tlogt^4-4intlogt^3dt-intlogt^2dt-t)=-2(2tlogt^4+tlogt^3-3intlogt^2dt-intlogt^2dt -x))$
$=-2(2tlogt^4+tlogt^3-tlogt^2-2tlogt+2t-tlogt^2-2tlogt+2t-t)+c$
ma per l'appunto nonn so se ho sbagliato ad applicare le formule...
mamma mia 
è meglio se spezzi la formula in qualche pezzo, così: \$...=\$
\$=...\$. Altrimenti non va a capo e non si capisce un tubo.
è meglio se spezzi la formula in qualche pezzo, così: \$...=\$
\$=...\$. Altrimenti non va a capo e non si capisce un tubo.
"dissonance":
mamma mia
è meglio se spezzi la formula in qualche pezzo, così: \$...=\$
\$=...\$. Altrimenti non va a capo e non si capisce un tubo.
fatto. dissonance...aiuto...non so se è corretto ma ho sfruttato il fatto che sono integrali notevoli. logt^2 e logt^n...
Integrali notevoli in che senso? Sicuramente vuoi dire che è noto che si risolvono per parti! Questo è vero (del resto non mi viene in mente nessun altro sistema).
Nella tua risoluzione ci deve essere qualche errore, perché se abbozzi la derivata vedi che non si annulla il termine $(log(t))^3$. Ora, a occhio mi pare che avrai sbagliato giusto qualche conto. Io avrei integrato due volte per parti il termine $int (log t)^4$, per fare scendere il grado fino a 2, a quel punto sarebbe rimasto da risolvere giusto l'integrale in $(log t)^2$. Mi pare che tu abbia fatto questo, che secondo me è il metodo corretto.
Questo è vero (del resto non mi viene in mente nessun altro sistema). Nella tua risoluzione ci deve essere qualche errore, perché se abbozzi la derivata vedi che non si annulla il termine $(log(t))^3$. Ora, a occhio mi pare che avrai sbagliato giusto qualche conto. Io avrei integrato due volte per parti il termine $int (log t)^4$, per fare scendere il grado fino a 2, a quel punto sarebbe rimasto da risolvere giusto l'integrale in $(log t)^2$. Mi pare che tu abbia fatto questo, che secondo me è il metodo corretto.
"dissonance":
Integrali notevoli in che senso? Sicuramente vuoi dire che è noto che si risolvono per parti!
Nella tua risoluzione ci deve essere qualche errore, perché se abbozzi la derivata vedi che non si annulla il termine $(log(t))^3$. Ora, a occhio mi pare che avrai sbagliato giusto qualche conto. Io avrei integrato due volte per parti il termine $int (log t)^4$, per fare scendere il grado fino a 2, a quel punto sarebbe rimasto da risolvere giusto l'integrale in $(log t)^2$. Mi pare che tu abbia fatto questo, che secondo me è il metodo corretto.
...dissonance...dovrai essermi illuminante...
Voglio dire:
dobbiamo risolvere $int(2log^4 t-log^2 t-1)dt=2intlog^4t\ dt - intlog^2 t\ dt -t +c$. E fin qui non ci piove. Per risolvere questi integrali dobbiamo procedere per parti. Ricordiamoci la teoria: se $f$, $g$, sono funzioni $C^1$ (*), allora $int f'g=fg-\intfg'$. E' chiaro che $log^4$ è di classe $C^1$. Consideriamo quindi $2intlog^4t\ dt=2\int 1*log^4t\ dt=2\int (t)'*log^4 t\ dt=\ldots$(formula di prima)$\ldots=2tlog^4 t - 2\int t*(log^4 t)'\ dt=2tlog^4 t - 8\int log^3 t\ dt$.
Rifacciamo la stessa cosa per quest'ultimo integrale: $-8\int log^3 t\ dt=-8tlog^3 t +24\int log^2 t\ dt$.
Quindi l'integrale in $log^4$ è diventato un integrale in $log^2$.
A questo punto il nostro integrale iniziale è diventato $2tlog^4t-8tlog^3t+23\int log^2t\ dt -t +c$.
Risolviamo $23\int log^2t\ dt=23tlog^2t-46\int log t\ dt$, e $-46\int log t\ dt=-46tlog t + 46\int\ dt$.
Mettendo insieme tutti questi pezzi otteniamo la soluzione in $t$:
$2t*log^4 t-8t*log^3 t+23t*log^2 t-46t*log t+45t +c$. (è giusta, ho controllato con Maple).
Ho scritto tutto passo-passo per evitare eventuali dubbi. Forse tu intendevi risolvere questi integrali come "notevoli", nel senso di applicare qualche formula presente sulle tavole di integrali? Se è così, te lo sconsiglio: queste formule magiche tendono ad essere dimenticate proprio nel momento più importante .
(*): E' sufficiente che $f, g$ siano derivabili con derivata integrabile. (edit): mi sono sbagliato, nel caso di integrali indefiniti è necessario che le funzioni siano di classe $C^1$, altrimenti $\int f'g, \intfg'$ potrebbero non avere senso.
dobbiamo risolvere $int(2log^4 t-log^2 t-1)dt=2intlog^4t\ dt - intlog^2 t\ dt -t +c$. E fin qui non ci piove. Per risolvere questi integrali dobbiamo procedere per parti. Ricordiamoci la teoria: se $f$, $g$, sono funzioni $C^1$ (*), allora $int f'g=fg-\intfg'$. E' chiaro che $log^4$ è di classe $C^1$. Consideriamo quindi $2intlog^4t\ dt=2\int 1*log^4t\ dt=2\int (t)'*log^4 t\ dt=\ldots$(formula di prima)$\ldots=2tlog^4 t - 2\int t*(log^4 t)'\ dt=2tlog^4 t - 8\int log^3 t\ dt$.
Rifacciamo la stessa cosa per quest'ultimo integrale: $-8\int log^3 t\ dt=-8tlog^3 t +24\int log^2 t\ dt$.
Quindi l'integrale in $log^4$ è diventato un integrale in $log^2$.
A questo punto il nostro integrale iniziale è diventato $2tlog^4t-8tlog^3t+23\int log^2t\ dt -t +c$.
Risolviamo $23\int log^2t\ dt=23tlog^2t-46\int log t\ dt$, e $-46\int log t\ dt=-46tlog t + 46\int\ dt$.
Mettendo insieme tutti questi pezzi otteniamo la soluzione in $t$:
$2t*log^4 t-8t*log^3 t+23t*log^2 t-46t*log t+45t +c$. (è giusta, ho controllato con Maple).
Ho scritto tutto passo-passo per evitare eventuali dubbi. Forse tu intendevi risolvere questi integrali come "notevoli", nel senso di applicare qualche formula presente sulle tavole di integrali? Se è così, te lo sconsiglio: queste formule magiche tendono ad essere dimenticate proprio nel momento più importante
. (*): E' sufficiente che $f, g$ siano derivabili con derivata integrabile. (edit): mi sono sbagliato, nel caso di integrali indefiniti è necessario che le funzioni siano di classe $C^1$, altrimenti $\int f'g, \intfg'$ potrebbero non avere senso.
"dissonance":
Voglio dire:
dobbiamo risolvere $int(2log^4 t-log^2 t-1)dt=2intlog^4t\ dt - intlog^2 t\ dt -t +c$. E fin qui non ci piove. Per risolvere questi integrali dobbiamo procedere per parti. Ricordiamoci la teoria: se $f$, $g$, sono funzioni $C^1$ (*), allora $int f'g=fg-\intfg'$. E' chiaro che $log^4$ è di classe $C^1$. Consideriamo quindi $2intlog^4t\ dt=2\int 1*log^4t\ dt=2\int (t)'*log^4 t\ dt=\ldots$(formula di prima)$\ldots=2tlog^4 t - 2\int t*(log^4 t)'\ dt=2tlog^4 t - 8\int log^3 t\ dt$.
Rifacciamo la stessa cosa per quest'ultimo integrale: $-8\int log^3 t\ dt=-8tlog^3 t +24\int log^2 t\ dt$.
Quindi l'integrale in $log^4$ è diventato un integrale in $log^2$.
A questo punto il nostro integrale iniziale è diventato $2tlog^4t-8tlog^3t+23\int log^2t\ dt -t +c$.
Risolviamo $23\int log^2t\ dt=23tlog^2t-46\int log t\ dt$, e $-46\int log t\ dt=-46tlog t + 46\int\ dt$.
Mettendo insieme tutti questi pezzi otteniamo la soluzione in $t$:
$2t*log^4 t-8t*log^3 t+23t*log^2 t-46t*log t+45t +c$. (è giusta, ho controllato con Maple).
ti chiedo perdono se ti ho fatto svolgere interamente i calcoli. ho svolto il tutto e----errore di calcolo come dicevi tuu. ti ringrazio infinitamente. alex
Ho scritto tutto passo-passo per evitare eventuali dubbi. Forse tu intendevi risolvere questi integrali come "notevoli", nel senso di applicare qualche formula presente sulle tavole di integrali? Se è così, te lo sconsiglio: queste formule magiche tendono ad essere dimenticate proprio nel momento più importante
(*): E' sufficiente che $f, g$ siano derivabili con derivata integrabile. (edit): mi sono sbagliato, nel caso di integrali indefiniti è necessario che le funzioni siano di classe $C^1$, altrimenti $\int f'g, \intfg'$ potrebbero non avere senso.
"bad.alex":
...ti ringrazio ecc...
figurati! Piuttosto:
per l'altro integrale ($int \frac{x\ dx}{\sqrt{2x^2+x+1}$), anche io riesco a risolverlo solo come hai fatto tu, in arcoseno iperbolico, ma stavate parlando di un metodo più rapido?
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