Integrale

[spiderontheweb]

Ciao a tutti

Qual è il modo più veloce per risolvere $int sin x / (1+a x) dx$ ?

[pat871]

Integrale indefinito? Non credo sia possibile "risolverlo"...
Se per caso gli estremi di integrazione ci sono, è possibile calcolare l'integrale utilizzando l'analisi complessa...

[spiderontheweb]

Si, mancano gli estremi d'integrazione che sono $0$ e $pi/2$

[elgiovo]

Un simpatico metodo permette di trovare la "primitiva": per la formula di sottrazione del seno

$sinx=sin(x+1/a-1/a)=cos(1/a)sin(x+1/a)-cos(x+1/a)sin(1/a)$

dunque l'integrale si può scrivere

$int(sinx)/(1+ax)dx=int(cos(1/a)sin(x+1/a)-cos(x+1/a)sin(1/a))/(a(x+1/a))dx
$" "" "" "" "" "" " =cos(1/a)/a int (sin(x+1/a))/(x+1/a)dx-sin(1/a)/a int (cos(x+1/a))/(x+1/a)dx$
$" "" "" "" "" "" "=1/a[cos(1/a)"Si"(x+1/a)-sin(1/a)"Ci"(x+1/a)]$

dove $"Si"(cdot)$ e $"Ci"(cdot)$ sono le funzioni integral-seno e integral-coseno.

In definitiva,

$int_0^(pi/2) (sinx)/(1+ax)dx=sin(1/a)/a["Ci"(1/a)-"Ci"(1/a+pi/2)]+cos(1/a)/a["Si"(1/a+pi/2)-"Si"(1/a)]$.