Integrale ??

[Sk_Anonymous]

$int(x^2+1)/(x^4+1)dx ???

[moreno88]

si risolve utilizzando la definizione di senoiperbolico e coseno iperbolico....tra un po ti mando i miei passaggi!

[Sk_Anonymous]

ok resto in attesa....

[moreno88]

allora io l'ho risolto cosi..non ho trovato altri metodi..e forse è anche inutile cmq:



`int (x^2+1)/(x^4 +1)

` pongo x=sinht; `
` dx=coshtdt; `

`int (sin^2ht + 1)/(sin^4ht +1) coshtdt `

Sapendo che `cos^2ht-sin^2ht=1 `
avremmo che `sin^2ht + 1=cos^2ht `
quindi `int ((cos^2ht))/(sin^4ht +1))*coshtdt=int (cos^3ht)/(sin^4ht +1) dt = int (cos^3ht)/((sin^2ht)^2 +1)dt`
sostituendo il valore di `sin^2ht=cos^2ht -1`
avremmo che `int(cos^3ht)/((cos^2ht -1)^2 +1)dt= int(cos^3ht)/(cos^4ht +1 -2cos^2ht +1)dt=int(cos^3ht)/(cos^4ht -2cos^2ht +2)dt`
ora aggiungendo e sottraendo un `cosht`
si ha che `int(cos^3ht -cosht)/(cos^4ht -2cos^2ht +2)dt +int(cosht)/(cos^4ht -2cos^2ht +2)dt=1/4 int(4cos^3ht -4cosht)/(cos^4ht -2cos^2ht +2)dt +int(cosht)/((cos^2ht -1)^2+1)dt=1/4log|cos^4ht -2cos^2ht +2|+1/2int(cosht)/((cos^2ht -1)^2+1)dt

questo è dove sono arrivato io,appena posso continuo...spero che sia esatto...fammi sapere

[Sk_Anonymous]

in realtà ho scoperto che

$(x^2+1)/(x^4+1)=(x^2+1)/(x^4+2x^2+1-2x^2)=(x^2+1)/((x^2+1)^2-2x^2)=(x^2+1)/((x^2-sqrt2x+1)(x^2+sqrt2x+1))

perciò
$int(x^2+1)/(x^4+1)dx=(1+sqrt2)/2int(2x-2)/(x^2-sqrt2x+1)dx+1/2int(2x+2sqrt2)/(x^2+sqrt2x+1)dx
e questo sembra più abbordabile

salvo errori di calcolo....

grazie infinite cmq....

michele