Integrale

[Sk_Anonymous]

Mediante la teoria dei residui calcolare
$int_(-oo)^(+oo)(cos(pix)/(1+x^2))^2dx

[Eredir]

Operando la sostituzione $cos^2(u) = (1 + cos(2u)) / 2$ e calcolando $int_(-oo)^(+oo) 1/ (2 (1 + x^2)^2) dx$ si ha $int_(-oo)^(+oo) (cos(\pi x) / (1 + x^2))^2 dx = int_(-oo)^(+oo) (1 + cos(2 \pi x)) / (2 (1 + x^2)^2) dx = \pi / 4 + int_(-oo)^(+oo) (cos(2 \pi x)) / (2 (1 + x^2)^2) dx$.

Introducendo la funzione $f(z) = 1 / (2 (1 + z^2)^2)$ ed il cammino $C_R = {z(\theta) = R e^(i \pi \theta), 0 <= \theta <= \pi}$ abbiamo $int_(-R)^(+R) f(z) e^(i 2 \pi z) dz = 2 \pi i * Res_(z=i) [f(z) e^(i 2 \pi z)] - int_(C_R) f(z) e^(i 2 \pi z) dz$.

Osserviamo che per $z \in C_R$ si ha $|f(z)| <= 1 / (2 |1 - |z^2||^2) = 1 / (2 (R^2 - 1)^2)$ e quindi per il lemma di Jordan il contributo all'integrale di $C_R$ per $R -> oo$ è nullo.

Passando al limite quindi otteniamo questa espressione $int_(-oo)^(+oo) f(z) e^(i 2 \pi z) dz = 2 \pi i * Res_(z=i) [f(z) e^(i 2 \pi z)]$.

Scriviamo $f(z) e^(i 2 \pi z) = (\phi(z)) / (z-i)^2$ con $\phi(z) = e^(i 2 \pi z) / (2 (z+i)^2)$ analitica e diversa da zero in $z = i$.

Possiamo dunque calcolare $Res_(z=i) [f(z) e^(i 2 \pi z)] = \phi'(i) = e^(-2 \pi) / (8 i) (1 + 2 \pi)$.

Quindi il valore di questo integrale è $Re int_(-oo)^(+oo) f(z) e^(i 2 \pi z) dz = int_(-oo)^(+oo) (cos(2 \pi x)) / (2 (1 + x^2)^2) dx = \pi / 4 e^(-2 \pi) (1 + 2 \pi)$.

Otteniamo quindi $int_(-oo)^(+oo) (cos(\pi x) / (1 + x^2))^2 dx = \pi / 4 [1 + e^(-2 \pi) (1 + 2 \pi)]$.