Integrale

[Sk_Anonymous]

Calcolare:

$intinty/(x^2+y^2+1)dx*dy$ essendo il dominio $x^2+y^2>=36,x^2+y^2-12x<=0$

[_nicola de rosa]

"Aeneas":Calcolare:

$intinty/(x^2+y^2+1)dx*dy$ essendo il dominio $x^2+y^2>=36,x^2+y^2-12x<=0$

coordinate polari

[elgiovo]

Provo: $int int_D y/(x^2+y^2+1)dx dy=int int_E (rho^2 sin theta)/(rho^2+1)d rho d theta$, dove
$E={(rho, theta) in RR^2 | 6 $int_(-pi/3)^(pi/3) sin theta d theta int_(6)^(12 cos theta) rho^2/(1+rho^2 ) drho=0$.

[Sk_Anonymous]

"elgiovo":Provo: $int int_D y/(x^2+y^2+1)dx dy=int int_E (rho^2 sin theta)/(rho^2+1)d rho d theta$, dove
$E={(rho, theta) in RR^2 | 6 $int_(-pi/3)^(pi/3) sin theta d theta int_(6)^(12 cos theta) rho^2/(1+rho^2 ) drho=0$.

come arrivi a questi estremi di integrazione?

[elgiovo]

Il dominio è la parte di cerchio di equazione $x^2+y^2-12x<=0$, meno i punti comuni
al cerchio $x^2+y^2<=36$. In coordinate polari, la circonferenza di equazione $x^2+y^2-12x=0$
diventa $rho=12cos theta$, l'altra è semplicemente $rho=6$. Quindi $6 L'angolo $theta$ varia tra $-pi/3$ e $pi/3$ dal momento che i punti d'intersezione delle due
circonferenze sono $(3, pm 3 cdot sqrt3)$.

[Sk_Anonymous]

Scusami,non ti seguivo in quanto la seconda figura è in realtà $x^2+y^2-12xy<=0$!

[elgiovo]

Sicuro? $x^2+y^2-12xcdoty=[x + ycdot(sqrt35 - 6)]cdot[x - ycdot(sqrt35 + 6)]$, dunque
è, si, una conica, ma degenere e composta dalle due rette di equazione
$x pm ycdot(sqrt35 bar+ 6)=0$.

[Sk_Anonymous]

"elgiovo":Sicuro? $x^2+y^2-12xcdoty=[x + y(sqrt35 - 6)][x - y(sqrt35 + 6)]$, dunque
è, si, una conica, ma degenere e composta dalle due rette di equazione
$x pm y(sqrt35 bar+ 6)=0$.

A meno di errori di stampa è questa

[Sk_Anonymous]

"elgiovo":L'angolo $theta$ varia tra $-pi/3$ e $pi/3$ dal momento che i punti d'intersezione delle due
circonferenze sono $(3, pm 3 cdot sqrt3)$.

${(x^2+y^2=36),(x^2+y^2-12x=0):} => 36-12x=0 => x=3$ sostituendo nella prima si ha $9+y^2=36 => y=+-5$,come ti sono venuti quei valori?

[Sk_Anonymous]

Pardonnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn


$36-9$ fa $27$!

[elgiovo]

In tal caso il dominio sarebbe infinito. Tuttavia vale la pena di provare ad integrare su domini
finiti, studiando poi il caso limite. Facendo un disegno, non è difficile vedere che il dominio diventa
$E={(rho, theta)in RR | 6 sono corone circolari. Faccio notare che ci siamo ridotti ad integrare nel primo quadrante.
Dunque $int int_D y/(x^2+y^2+1)dx dy= int int_E(rho^2 sin theta)/(rho^2+1)d rho d theta=int_(tan^(-1)(sqrt35+6))^(pi/2-tan^(-1)(sqrt35+6))sin theta d theta int_(6)^k rho^2/(rho^2+1)d rho$
$=(sqrt30cdottan^(-1)k)/6 + (sqrt30cdot tan^(-1) 1/6 )/6 - (sqrt30cdot(2cdotk + pi - 12))/12=I$. Integrando sul terzo
quadrante, si perviene a $J=-I$, e poichè $int int_E(rho^2 sin theta)/(rho^2+1)d rho d theta=I+J=0$, per ogni valore di $k$.
Fermo restando che l'esercizio vero non era questo.