Integrale

[G.D.5]

è corretto dire che :
1) il simbolo di integrale definito di riemann è tutto l'assieme $\int_{a}^{b}f(x)dx$?
2) che quello che si integra è la $f(x)$
3) che il dx NON moltiplica la $f(x)$, ma simbolicamente indica il fatto che intuitivamente per fare l'integrale si sommano i rettangolini infinitesimi, oltre a dirci la variabile di integrazione?
Tale ragionamento, se corretto, è estendibile anche agli altri integrali?
domando perchè il mio prof interrogandomi mi ha chjiesto di spiegare il significato del simbolo di integrale e ha detto che ho sbagliato perchè si integra il prodotto di $f(x)$ per il differenziale $dx$.
so che sarete tentati dal mandarmi in altri post, ma vi chiedo di rispondere con un si o un no a ciascuna delle tre domande...il prof mi ha mandato un pò in confusionee quest'anno c'ho la commissione esterna di mate...................................help me!!!

[Lorenzo Pantieri]

"WiZaRd":è corretto dire che :
1) il simbolo di integrale definito di riemann è tutto l'assieme $\int_{a}^{b}f(x)dx$?
2) che quello che si integra è la $f(x)$
3) che il dx NON moltiplica la $f(x)$, ma simbolicamente indica il fatto che intuitivamente per fare l'integrale si sommano i rettangolini infinitesimi, oltre a dirci la variabile di integrazione?
Tale ragionamento, se corretto, è estendibile anche agli altri integrali?
domando perchè il mio prof interrogandomi mi ha chjiesto di spiegare il significato del simbolo di integrale e ha detto che ho sbagliato perchè si integra il prodotto di $f(x)$ per il differenziale $dx$.
so che sarete tentati dal mandarmi in altri post, ma vi chiedo di rispondere con un si o un no a ciascuna delle tre domande...il prof mi ha mandato un pò in confusionee quest'anno c'ho la commissione esterna di mate...................................help me!!!

Permettimi di affrontare la cosa in maniera "ragionata". In matematica, esistono
1. le idee "intuitive", che sono la base del pensiero matematico;
2. i concetti definiti rigorosamente;
3. le notazioni, stabilite per convenzione.

Che cos'è l'integrale di Riemann? A parole e per sommi capi: data una funzione limitata sull'intervallo $[a,b]$, se il sup delle somme inferiori è uguale all'inf delle somme superiori, la funzione è detta integrabile secondo Riemann e questo valore è detto integrale di Riemann.

Come si indica l'integrale di Riemann? La convenzione scelta è $\int_a^b f(x) dx$. Il "dx" (che è improprio chiamare differenziale, il differenziale è un'altra cosa) è un simbolo di comodo che, intuitivamente, indica la "base infinitesima" dei rettangoli che costituiscono il "trapezoide" che "approssima" l'integrale. Il simbolo $\int$, intuitivamente, sta per "somma" ("di infiniti termini infinitesimi"). Nota tutte le virgolette!

A questo punto dovresti essere in grado di rispondere da solo alle tue domande.

Chiedi se il simbolo di integrazione è estendibile a tutti gli altri integrali. A quali integrali ti riferisci? Gli integrali doppi hanno una loro notazione (che generalizza quella precedente). L'integrale di Lebesgue ha una notazione leggermente diversa. Quello di Stjeltjes un'altra ancora...

Ciao,
L.

[G.D.5]

dalla risposta che mi hai dato penso che la notazione sia dovuto a quello che intuitivamente l'integrale significa, che dx non è un fattore ma un simbolo che allude a un fattore infinitesimo e che quello che si integra è la f(x), mentre la definizione rigorosa sta nelle somme integrali sup e inf....per quanto riguarda l'estensione, sono stao impreciso nella domanda....mi chiedevo se anche negli integrali di superficie o negli integrali curvilinei in campi vettoriali dove compare il segno di prodotto scalare tra vettore e elemento di curva dl, si usasse quella notazione per i motivi di allusione intuitiva dell'integrale...a questo punto penso di sì
grazie per la pazienza