Integrale

[hastings1]

come si risolve il seguente integrale?
$int((3cosx)/(1+sinx))dx$

Ho provato a moltiplicare per $(1-sinx)/(1-sinx)$

Quindi $[(3cosx)(1-sinx)]/[(1+sinx)(1-sinx)]=[3cosx(1-sinx)]/[cos^2x]=$ $3 ((1-sinx)/(cos x))= 3 (1/cosx - sinx/cosx)$

Ora $ int 3 (1/cosx - sinx/cosx)dx= 3int(1/cosx)dx+3int(- \ \ sinx/cosx)dx$

$ 3int(-sinx/cosx)dx= 3log|cosx| $;

come faccio con $3int(1 / cosx)dx$?

[hastings1]

Qualcuno potrebbe cimentarsi nel mio esercizio?

[_Tipper]

Usa le formule parametriche, secondo cui $\cos(x) = \frac{1-\tan^2(\frac{x}{2})}{1+\tan^2(\frac{x}{2})}$, poi poni $t=\tan(\frac{x}{2})$, e considera che $dt = \frac{1}{2} (1+\tan^2(\frac{x}{2}))$

[fabry1985mi]

"settembre":come si risolve il seguente integrale?
$int((3cosx)/(1+sinx))dx$

Volevo farti prima di tutto notare che questo è uno degli integrali da considerarsi immediati; infatti a meno di costanti moltiplicative il numeratore $3cosx$ risulta essere la derivata del denominatore $1 + sinx$, dunque dovrebbe venirti in mente un logaritmo come funzione primitiva:
$int(3cosx)/(1+sinx)dx=3int(cosx)/(1+sinx)=3log|1+sinx|+c$ con $c in RR$
in ogni caso è piuttosto facile (anche se un po' meno) integrare $1/(cosx)$ con una sostituzione; ponendo:
$t=tg(x/2) Leftrightarrow x=2artg(t) Rightarrow dx=(2dt)/(1+t^2)$ e ricordando che $cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$ otteniamo:
$int1/(cosx)dx=int2/(1-t^2)dt=int[1/(1-t)+1/(1+t)]dt=-log|1-t| + log|1+t| +c=log((1+tg(x/2))/(1-tg(x/2)))+ c$

[etec83]

oppure fai così:

$3*int((1+cos^2x-cos^2x)/cosx)*dx = 3*[int((1-cos^2x)/cosx)*dx + int((cos^2x)/cosx)*dx]$

e poi risolvi

[fabry1985mi]

"etec83":oppure fai così:

$3*int((1+cos^2x-cos^2x)/cosx)*dx = 3*[int((1-cos^2x)/cosx)*dx + int((cos^2x)/cosx)*dx]$

e poi risolvi

Ma il primo addendo è un intgrale immadiato? Non riesco a vedere un modo rapido per calcolarlo con questo procedimento

[etec83]

Si scusa ho sbagliato rimane un $sen^2x$
quindi non si può risolvere così..

[hastings1]

Grazie fabry1985 per avermi fatto notare che il numeratore è la derivata del denominatore! non ci avevo pensato anche se quella formula l'ho usata tante volte. Grazie di nuovo a tutti!

Ed io che ci ho perso tutta la mattinata!