Integrale

[ben2]

salve,

qualcuno mi potrebbe spiegare , da cosa si deduce (senza fare calcoli) se l'integrale improprio
converge o diverge ?

$int_(0)^(1/2)$$(4x^2+4x-2)/(x^2sqrt(x)ln(1+x))$

presumo dall'ordine di infinitesimi , ma cosa bisogna fare con l'intervallo $[0;1/2]$


grazie
Ben

[_Tipper]

L'integrale è improprio in $0$.

L'integranda è asintotica a $\frac{1}{x^2 \sqrt{x} x}$, in quanto $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{4x^2+4x-2}{x^2 \sqrt{x} \ln(1+x)}}{\frac{1}{x^2 \sqrt{x} x}}$ è un numero finito diverso da zero, quindi studiare la convergenza di quell'integrale è equivalente a studiare la convergenza di

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^2 \sqrt{x} x} dx = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}dx$

[ben2]

grazie tipper, ma come sei passato da $1/(x^2sqrt(x)ln(1+x))$ a $\frac{1}{x^2 \sqrt{x} x}$ ?

[_Tipper]

Be', il sopra va a zero come $-2$, quindi come una costante, al denominatore c'è $\ln(1+x)$ che va a zero come $x$ (ricordi infatti il limite notevole $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$, o più semplicemente lo sviluppo di Taylor), quindi al numeratore ho messo una costante, anziché $1$ potevi mettere $1548785$, non cambiava nulla, al denominatore, al posto di $\ln(1+x)$, ho messo $x$.
Questo vale perché l'integrale è improprio in zero.