Integrale
Sia $n in NN$, $n>=1$; sia $|| * ||$ la norma euclidea in $RR^n$; si calcoli:
$int_(RR^n)" "e^(-||x||^2) dx_1 * * * dx_n$
con $x = (x_1,...,x_n) in RR^n$.
$int_(RR^n)" "e^(-||x||^2) dx_1 * * * dx_n$
con $x = (x_1,...,x_n) in RR^n$.
Risposte
credo che si possa usare lo stesso approccio che si unsa per calcolare lo stesso integrale in 2D, ossia con solo x1 e x2.
Passi a coordinate pseudo-sferiche e fai tutto in funzione di r^2 dove r^2=x1^2+x2^2+x3^2+x4^2.
L'unica cosa è calcolarsi lo jacobiano della trasformazione....
Passi a coordinate pseudo-sferiche e fai tutto in funzione di r^2 dove r^2=x1^2+x2^2+x3^2+x4^2.
L'unica cosa è calcolarsi lo jacobiano della trasformazione....
Esiste una strada più immediata... Comunque
ho modificato il post, ora è un esercizio più generale.
ho modificato il post, ora è un esercizio più generale.
"Reynolds":
Sia $n in NN$, $n>=1$; sia $|| * ||$ la norma euclidea in $RR^n$; si calcoli:
$int_(RR^n)" "e^(-||x||^2) dx_1 * * * dx_n$
con $x = (x_1,...,x_n) in RR^n$.
Se non mi sbaglio il risultato dovrebbe essere:
$int_(RR^n)" "e^(-||x||^2) dx_1 * * * dx_n=(2pi)^(n/2)$
ma non ho assolulamente idea di come si possa dimostrare. Se qualcuno lo sa, sarei ben contento di allargare la mia cultura!
Il risultato non è proprio quello ma è quasi quello...
Comunque prima di postare la mia versione dei fatti aspetto qualcun altro.
Comunque prima di postare la mia versione dei fatti aspetto qualcun altro.
Per caso il risultato è $\sqrt{\pi^n}$? Se sì dico come ho ragionato.
Sì è quello, meglio scriverlo come $pi^(n/2)$.
Io ho ragionato così: l'integrale si può riscrivere come
$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \ldots \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2)} dx_1 dx_2 \ldots dx_n$
Dato che si sta integrando su un iperrettangolo, non so se si chiama così, in tal caso è un neologismo
, l'integrale si può riscrivere come:
$\prod_{i=1}^{n} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x_i^2} dx_i$
Dato che $\int_{\mathbb{R}} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ allora l'integrale richiesto fa:
$\prod_{i=1}^{n} \pi^{\frac{1}{2}} = \pi^{\frac{n}{2}}$
C'ho preso?
$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \ldots \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2)} dx_1 dx_2 \ldots dx_n$
Dato che si sta integrando su un iperrettangolo, non so se si chiama così, in tal caso è un neologismo
, l'integrale si può riscrivere come:$\prod_{i=1}^{n} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x_i^2} dx_i$
Dato che $\int_{\mathbb{R}} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ allora l'integrale richiesto fa:
$\prod_{i=1}^{n} \pi^{\frac{1}{2}} = \pi^{\frac{n}{2}}$
C'ho preso?
Esatto, è lo stesso identico ragionamento che ho fatto anche io.
Pensavo che qualcuno si sarebbe arrovellato a calcolarlo
usando le coordinate polari in $RR^n$...
Pensavo che qualcuno si sarebbe arrovellato a calcolarlo
usando le coordinate polari in $RR^n$...
Basta ricordarsi l'espressione della pdf congiunta di $n$ variabili aleatorie congiuntamente gaussiane 
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