Integrale

[H2O1]

Salve a tutti,

Potreste indicarmi la via per la risoluzione di questo integrale:

$int_0^4 x^3(x^2+1)^-(1/2) dx$

[MaMo2]

Forse scrivendolo così diventa chiaro:

$int_0^4xsqrt(x^2+1)dx-int_0^4x/sqrt(x^2+1)dx$

[H2O1]

Si, ora è più chiaro...

ma come hai fatto a riscriverlo in quel modo? divisione?

[TomSawyer1]

Tieni conto che $xsqrt(x^2+1)-x/(sqrt(x^2+1))=(x(x^2+1)-x)/(sqrt(x^2+1))=x^3/(sqrt(x^2+1))$

[H2O1]

si, Crook questo mi era chiaro ma volevo sapere se per riscriverlo ha usato particolari artifizi... o l'ha riconosciuto?

[Chicco_Stat_1]

ha semplicemente cercato di far ricomparire a numeratore qualcosa di semplificabile con il denominatore, almeno penso..

[f.bisecco]

$\int(x^3)/sqrt(x^2+1)dx$

Applichiamo la sostituzione

$sqrt(x^2+1)=t-x$

da cui

$X^2+1=t^2-2tx+x^2$
$2tx=t^2-1$
$x=(t^2-1)/(2t)$
$dx=(t^2+1)/(2t^2)dt$

l'integrale diventa

$\int((t^2-1)/(2t))^3*((2t)/(t^2+1))*((t^2+1)/(2t^2))dt=$
$\int((t^2-1)^3)/(8t^4)dt=$
$\int(t^6+3t^2-3t^4-1)/(8t^4)dt=$
$(1/8)*(\int(t^2)dt+3\int(1/t^2)dt-3\int(dt)-\int(1/t^4)dt)=$
$(1/8)*[1/3(t^3)-(3/t)-3t+1/(3(t^3))]+c$

sostituendo con $t=sqrt(x^2+1)+x$ si ha il risultato....SALVO ERRORI...

[fireball1]

Non mi pare che venga così... Poi comunque
si può fare per parti, appena uno si accorge che
si può riscrivere come:
$1/2 int x^2 (x^2+1)^(-1/2) d(x^2+1)