Integrale

[matematicoestinto]

Ciao a tutti

come è possibile dimostrare in modosemplice che per una funzione dispari

$int_(-a)^af(x)dx=0$

usando la sostituzione x=-t? io non riesco a vedere il modo in questo istante... ma non sarà difficile....

GRAZIE

[_luca.barletta]

prova a spezzare l'integrale, da $-a$ a 0 e da 0 ad $a$; almeno, così ad occhio

[elgiovo]

Io direi di sfruttare la disparità della funzione nel modo seguente:

$f(x)=-f(-x)$; $int_0^af(x)dx=-int_0^af(-x)dx$.

[elgiovo]

$int_0^af(x)dx=-int_0^af(-x)dx$. Con la sostituzione $x=-x$ nel secondo integrale $int_0^af(x)dx=-(-int_0^(-a)f(x)dx)$; $int_0^af(x)dx= - [ - (-int_(-a)^0f(x)dx)]$, per cui
$int_0^af(x)dx+int_(-a)^0f(x)dx=0$

[_nicola de rosa]

"matematicoestinto":Ciao a tutti

come è possibile dimostrare in modosemplice che per una funzione dispari

$int_(-a)^af(x)dx=0$

usando la sostituzione x=-t? io non riesco a vedere il modo in questo istante... ma non sarà difficile....

GRAZIE

$int_(-a)^af(x)dx=int_{-a}^{0}f(x)dx+int_{0}^{a}f(x)dx$
Ora nel primo integrale si effettui la sostituzione $x=-t->dx=-dt$ per cui
$int_{-a}^{0}f(x)dx=-int_{a}^{0}f(-t)dt=int_{0}^{a}f(-t)dt$ e per la disparità essendo $f(t)=-f(-t)$ si ha:
$int_{-a}^{0}f(x)dx=-int_{a}^{0}f(-t)dt=int_{0}^{a}f(-t)dt=-int_{0}^{a}f(t)dt$ per cui
$int_(-a)^af(x)dx=int_{-a}^{0}f(x)dx+int_{0}^{a}f(x)dx=-int_{0}^{a}f(x)dx+int_{0}^{a}f(x)dx=0$

[elgiovo]

è esattamente ciò che ho fatto io...

[_nicola de rosa]

"elgiovo":è esattamente ciò che ho fatto io...

i due modi di procedere arrivano alla stessa cosa, ma io parto da dove tu finisci e viceversa

[elgiovo]

vero.