Integrale

[modestina87]

salve a tutti!

ieri ho fatto l'esame di analisi..ma sono rimasta con un dubbio...potreste aiutarmi a risolverlo?
il mio problema è questo integrale:
∫cosx/sqrt(1+sen^2(x)) dx
ho provato a farlo per parti e con il metodo di sostituzione, ma non riesco a risolverlo..mi hanno consigliato di applicare la sostituzione di Eulero, ma non saprei come fare
potreste darmi una mano?

grazie mille a tutti quelli che risponderanno!

[_luca.barletta]

$int cosx/sqrt(1+sin^2x)dx=int (dsinx)/sqrt(1+sin^2x)=int (dt)/sqrt(1+t^2)=ln|t+sqrt(1+t^2)|+c$

[fireball1]

Basta porre $sinx=y=>dy=cosxdx$, quindi si ha
$int (dy)/(sqrt(1+y^2))
questo si può calcolare ponendo $y=sinht$ ovvero
$dy = coshtdt$, quindi si ottiene:
$int (coshtdt)/(cosht) = int dt = t = arcsinhy = arcsinh(sinx)

[_luca.barletta]

@modestina87: il mio risultato e quello di reynolds sono gli stessi, con un po' di passaggi te ne puoi accorgere

[fireball1]

"luca.barletta":$ln|t+sqrt(1+t^2)|+c$

Luca, in realtà il modulo si può anche omettere dato che $t+sqrt(1+t^2)>0 " "AAt in RR$.

[_luca.barletta]

sì, l'ho messo giusto per accademia

[modestina87]

aspettate un attimo...io le funz iperboliche non le ho fatte..
ma il risultato arcsinh(sinx) quindi è uguale a ln|t+sqrt(1+t^2)|??

ok allora grazie!!!

[fireball1]

"modestina87":ma il risultato arcsinh(sinx) quindi è uguale a ln|t+sqrt(1+t^2)|??

Certo, se $t=sinx$.