Integrale

[pi5]

Avrei da chiedere un integrale improprio, ma non so come scrivere qua gli estremi di integrazione... (cmq sono 3 e $+oo$)

$int (log(sqrtx + 1) - log(sqrtx - 1))/sqrtx dx$

[fireball1]

Non è convergente, infatti
$log(sqrtx+1)-log(sqrtx-1)=log((sqrtx+1)/(sqrtx-1))=log((sqrtx-1+2)/(sqrtx-1))=log(1+2/(sqrtx-1))~~2/(sqrtx-1)
per $x->+oo$, quindi l'integranda si comporta per $x->+oo$ come:
$(2/(sqrtx-1))/(sqrtx) = 2/(x-sqrtx) ~~ 2/x
che non è integrabile in un intorno di $+oo$.

[pi5]

Grazie!

(Non mi sarebbe mai venuto in mente di aggiungere e togliere 1... )

[pi5]

Ne ho un altro che non so fare (tra 0 e 1/2):

$int ((sqrt(1+x) - sqrt(1-x)) log^2x)/(xsqrtx) dx$

(ma come si fa mettere gli estremi?)

[_luca.barletta]

Per mettere gli estremi:

int_(0)^(1/2) ((sqrt(1+x) - sqrt(1-x)) log^2x)/(xsqrtx) dx

veniamo allo studio della convergenza: il problema è quando $x->0$, allora diciamo subito che

$((sqrt(1+x) - sqrt(1-x)) log^2x)/(xsqrtx)~(log^2x)/sqrt(x)$ per $x->0$

ora puoi usare una minorazione con una funzione il cui integrale diverge in $[0,1/2]$.

[pi5]

"luca.barletta":$((sqrt(1+x) - sqrt(1-x)) log^2x)/(xsqrtx)~(log^2x)/sqrt(x)$ per $x->0$

Perché?

ora puoi usare una minorazione con una funzione il cui integrale diverge in $[0,1/2]$.

Tipo?

Dove posso trovare un po' di esercizi svolti sugli integrali impropri su intervalli limitati?

[_luca.barletta]

Perchè $(1+-t)^p~1+-pt$ per $t->0$; la minorante la lascio trovare a te ( è semplice da trovare), magari non minora $(log^2x)/(sqrt(x))$ in tutto $[0,1/2]$, ma in $[0,q]$ con $0

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[pi5]

"luca.barletta":la minorante la lascio trovare a te ( è semplice da trovare), magari non minora $(log^2x)/(sqrt(x))$ in tutto $[0,1/2]$, ma in $[0,q]$ con $0Non ci arrivo...

[pi5]

$(log^2 x)/x$?

[_luca.barletta]

la prima funzione che ti passa per la testa con le proprietà $lim_(x->0^+) f(x)=+infty$ e $int_0^q f(x)=+infty$ con $0

Cita

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[pi5]

"luca.barletta":la prima funzione che ti passa per la testa con le proprietà $lim_(x->0^+) f(x)=+infty$ e $int_0^q f(x)=+infty$ con $0$1/x$?

[_luca.barletta]

ok

[pi5]

Grazie!

Ne ho ancora tre che non so fare...

$int_0^1 (1-e^(-x))/(x^(3/2))dx$

[_luca.barletta]

puoi osservare che $1-e^(-x)~x$ per $x->0$

[pi5]

Ok...

$int_0^(1/2) 1/(xlogx) dx$

[_luca.barletta]

ora che sei diventato bravo puoi provarci te

[pi5]

"luca.barletta":ora che sei diventato bravo puoi provarci te

Non sopravvalutarmi: se fossi capace mica le chiederei...
Cmq vediamo... arrivo sempre a $1/x$? No, davvero sti cosi non so nemmeno da che parte guardarli!

[fireball1]

In questo caso conviene integrare direttamente:
$int_0^(1/2) 1/(xlogx) dx = int_0^(1/2) (1/x)/(logx) dx = int_0^(1/2) (dlogx)/(logx) = log|log(1/2)| - lim_(x->0^+) log|logx| = -oo

[pi5]

Ha senso calcolare il limite dell'integranda per x che tende a zero e se questo va a infinito l'integrale diverge? O mi sto confondendo con qualcosa d'altro?

[fireball1]

Ti stai confondendo con qualcos'altro, mi auguro...