INTEGRALE

[newyork1]

Riuscite a risolvermi questo integrale ?

dx/ (x-1)^3 * (x+1)^2

1 fratto (x-1) al cubo per (x+1) al quadrato
Grazie

[Giova411]

$int dx/ ((x-1)^3 * (x+1)^2) $

E' questo?

[newyork1]

si grazie

[_nicola de rosa]

scomponi $1/((x-1)^3(x+1)^2)$ come $A/(x-1)+B/(x-1)^2+C/(x-1)^3+D/(x+1)+E/(x+1)^2$ con $A,B,C,D,E$ da determinare col principio di identità dei polinomi.

[Giova411]

Mi sono messo prima ma non riuscivo ad iniziare... Aspettavo anch'io novità...
Ora ci provo di nuovo.
Una domanda:
$E/(x+1)^2$ ?

[Giova411]

Ops,
ho postato mentre modificavi sicuramente..

[Giova411]

Raga ma c'é da impazzire con questo...
Avete, per caso, il risultato?
A me viene:
$ 3/7 ln |x+1| + (9x^2+x+4)/(21(x-1)^2(x+1) )+ C$

[_nicola de rosa]

"Giova411":Raga ma c'é da impazzire con questo...
Avete, per caso, il risultato?
A me viene:
$ 3/7 ln |x+1| + (9x^2+x+4)/(21(x-1)^2(x+1) )+ C$

$1/((x-1)^3(x+1)^2)=A/(x-1)+B/(x-1)^2+C/(x-1)^3+D/(x+1)+E/(x+1)^2$ e col principio di identità dei polinomi ricavi questo sistema:
${(A+D=0),(B-2D+E=0),(-2A+B+C-3E=0),(-B+2C+2D+3E=0),(A-B+C-D-E=1):}$ da cui si ricavano i seguenti coefficienti
${(A=3/16),(B=-1/4),(C=1/4),(D=-3/16),(E=-1/8):}$ per cui
$int1/((x-1)^3(x+1)^2)dx=3/16int1/(x-1)dx-1/4*int1/(x-1)^2dx+1/4*int1/(x-1)^3dx-3/16*int1/(x+1)dx-1/8*int1/(x+1)^2dx$=
$3/16*ln|x-1|+1/4*1/(x-1)-1/8*1/(x-1)^2-3/16*ln|x+1|+1/8*1/(x+1)+K=3/16*ln|(x-1)/(x+1)|+(3x^2-3x-2)/(8(x-1)^2(x+1))+K$

Ovviamente il tutto si semplifica utilizzando l'analisi complessa. Infatti in tal caso è semplice calcolare le costanti $A,B,C,D,E$ poichè:
$C=lim_(x->1)1/(x+1)^2=1/4,E=lim_(x->-1)1/(x-1)^3=-1/8$
$A=1/(2!)(d^2)/(dx^2)(1/(x+1)^2)_(x=1)=(3/(x+1)^4)_(x=1)=3/16$,
$B=(d)/(dx)(1/(x+1)^2)_(x=1)=(-2/(x+1)^3)_(x=1)=-1/4$,
$D=(d)/(dx)(1/(x-1)^3)_(x=-1)=(-3/(x-1)^4)_(x=-1)=-3/16$
così come trovato precedentemente.

[Giova411]

Sicuramente ho sbagliato io... (Ho fatto un casino!!!)
Ci riproverò domani!

Buena noche muchachos!

[Giova411]

Si mi arrendo perché l'ho appena ri-ri-provato e mi viene:
$1/5*ln|(x-1)/(x+1)| + (4x^2-3x-3)/(10(x-1)^2(x+1))$

Quindi si vede che sbaglio qualcosa...

Ciao ciao!

[newyork1]

scusate ragazzi ma quando ci stanno denominatori di grado superiore al primo ad esempio C / (x+1)^2 non bisogna mettere Cx + D ?

cmq il risultato è giusto grazie mille

[Giova411]

Ciao,
scusami se non sono riuscito a spiegarti bene l'integrale (...è da poco che li studio...)
Ma ci ho provato...
Meno male che è arrivato nicola de rosa!!!!

$Ax + B $ va usato quando, fattorizzando un denominatore, capita di trovare un fattore quadratico irriducibile cioé dove $b^2-4ac$ risulta negativo.
Prova a vedere questi link che ho appena trovato:

http://www.chihapauradellamatematica.or ... ndef2b.htm
http://www.chihapauradellamatematica.or ... ndef2c.htm