Integrale

[Giova411]

$int (dx) / (x^2 + x + 1) $

Ovviamente non riesco a ridurlo, ma col quadrato nel trinomio come si fa?

Come si applica il quadrato nel trinomio?
Il mio libro non lo spiega ma poi propone gli esercizi nei quali applicarlo...

[_Tipper]

Scrivi il denominatore come $(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$, poi, raccogliendo fuori dall'integrale $\frac{1}{\frac{3}{4}}$ ottieni:

$\frac{1}{\frac{3}{4}}\int\frac{1}{(\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})^2+1}dx=\sqrt{\frac{3}{4}}\frac{1}{\frac{3}{4}}\int\frac{\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}}{(\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})^2+1}dx$

Dunque il risultato è:

$\frac{2}{sqrt{3}} "arctg"(\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})+C=\frac{2}{\sqrt{3}}"arctg"(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})+C$

[Giova411]

Mitico, grazie!!!

Ma scusa, hai applicato questo benedetto quadrato nel trinomio? Come si fa ad intuire quella riduzione del denominatore?

[_Tipper]

$x^2$ è il quadrato di $x$, dentro il secondo termine, in questo caso $x$, c'è dentro un doppio prodotto. $x$ si può scrivere come $2 x \frac{1}{2}$, quindi se $x$ è il primo termine del quadrato da costruire vuol dire che $\frac{1}{2}$ deve essere il secondo, dato che il quadrato di $\frac{1}{2}$ è $\frac{1}{4}$, si scrive $1$, come $\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$.

[Giova411]

Grazie!

[_Tipper]

C'era un errore di calcolo, ho corretto, adesso mi sembra che sia giusto.