Integrale
Qualcuno mi potrebbe aiutare a risolvere questo integrale:
$int(x^3)/sqrt(1+x^2)dx$
Grazie a chi mi rispondera'
$int(x^3)/sqrt(1+x^2)dx$
Grazie a chi mi rispondera'
Risposte
nn so quanto sia giusto, io ho provato per sostituzione:
$1+x^2=t^2$ , $x=sqrt(t^2-1)$ , $dx=t/(sqrt(t^2-1))dt$
e $int(sqrt(t^2-1)^3*2t)/(2tsqrt(t^2-1))dt=intt^2-1dt=1/3t^3-t+C=1/3sqrt(x^2+1)^3-sqrt(x^2+1)+C$
$1+x^2=t^2$ , $x=sqrt(t^2-1)$ , $dx=t/(sqrt(t^2-1))dt$
e $int(sqrt(t^2-1)^3*2t)/(2tsqrt(t^2-1))dt=intt^2-1dt=1/3t^3-t+C=1/3sqrt(x^2+1)^3-sqrt(x^2+1)+C$
Secondo me conviene fare la sostituzione $sqrt{1+x^{2}}=t-x$, si ottiene infatti $t=x+sqrt{1+x^{2}}$ e, elevando al quadrato l'espressione precedente, si ottiene $x=\frac{t^2 - 1}{2t}$, inoltre $dx=\frac{t^2 + 1}{2t^2}dt$, infine $sqrt{1+x^2}=t-x=\frac{t^2 + 1}{2t}$
L'integrale diventa:
$\int \frac{(t^2 - 1)^3}{8t^3} \frac{2t}{t^2 + 1} \frac{t^2 + 1}{2t^2}dt$ e semplificando:
$\int \frac{(t^2 - 1)^3}{8t^4}dt$
Ora l'integrale è semplice da calcolare.
Ho fatto i conti velocemente, quindi è probabile che ci siano errori di calcolo.
L'integrale diventa:
$\int \frac{(t^2 - 1)^3}{8t^3} \frac{2t}{t^2 + 1} \frac{t^2 + 1}{2t^2}dt$ e semplificando:
$\int \frac{(t^2 - 1)^3}{8t^4}dt$
Ora l'integrale è semplice da calcolare.
Ho fatto i conti velocemente, quindi è probabile che ci siano errori di calcolo.
ho toppato in pieno tipper?
Non so, ora guardo, ma dal risultato non penso...
Il tuo metodo va benissimo, anzi, si prima che col mio.
Quando c'è un'espressione del tipo $sqrt{1+x^2}$ sono solito fare la sostituzione che ho detto perché, in ogni caso, spariscono subito tutte le radici, ma in questo caso conviene senz'altro fare come hai fatto te.
Quando c'è un'espressione del tipo $sqrt{1+x^2}$ sono solito fare la sostituzione che ho detto perché, in ogni caso, spariscono subito tutte le radici, ma in questo caso conviene senz'altro fare come hai fatto te.
cio significa che ogni tanto qualcosa l azzecco ank io!bene1!! 
eh... c'è un misprint nel $dx$ 
purtroppo non mia pare sia un errore, solo per appunto un misprint
andrà peggio un'altra volta
purtroppo non mia pare sia un errore, solo per appunto un misprint
andrà peggio un'altra volta
Eh vabè, sei proprio un professore...
Scherzo eh
Scherzo eh
nn so che sia un misprint!!
errore di stampa
ahah ok!!grazie!!
io ho un risultato che e' $1/3(x^2-2)sqrt(x^2+1)$
chissa' come ci si arriva a questo risultato... ( derivandolo si ottiene la funzione di partenza, non sono riuscito ad ottenerla con il risultato proposto piu' sopra... )
chissa' come ci si arriva a questo risultato... ( derivandolo si ottiene la funzione di partenza, non sono riuscito ad ottenerla con il risultato proposto piu' sopra... )
"Burra":
io ho un risultato che e' $1/3(x^2-2)sqrt(x^2+1)$
chissa' come ci si arriva a questo risultato... ( derivandolo si ottiene la funzione di partenza, non sono riuscito ad ottenerla con il risultato proposto piu' sopra... )
ci si arriva facilmente senza alcuna sostituzione: si integra per parti prendendo come funzione da integrare $x/(sqrt(x^2+1))$ una cui primitiva è ovviamente $sqrt(1+x^2)$ e come funzione da derivare $x^2$. Per cui
$intx^3/(sqrt(1+x^2))dx=intx^2*(x/(sqrt(x^2+1)))dx=x^2sqrt(1+x^2)-int2xsqrt(1+x^2)dx$
=$x^2sqrt(1+x^2)-int2x(1+x^2)^(1/2)dx=x^2sqrt(1+x^2)-2/3(1+x^2)^(3/2)=x^2sqrt(1+x^2)-2/3*(1+x^2)sqrt(1+x^2)$=
$1/3*sqrt(x^2+1)*(3x^2-2-2x^2)=1/3*(x^2-2)sqrt(1+x^2)+K$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo