Integrale

[Sk_Anonymous]

$int_0^(2pi)(sen(2x))/(1+sen^2x)dx$

a me viene:
$2pii(2i(872-540sqrt3)/(24-12sqrt3)-2i)$

è giusto?

non so semplificare ulteriormente tale risultato

[fireball1]

Guarda è molto semplice...
$sin(2x)=2sinxcosx$ per le formule di
duplicazione, allora
$int (2sinxcosx)/(1+sin^2x) dx = int (d(1+sin^2x))/(1+sin^2x) = log(1+sin^2x)
che calcolato tra $0$ e $2pi$ fa 0...

[_nicola de rosa]

"fireball":Guarda è molto semplice...
$sin(2x)=2sinxcosx$ per le formule di
duplicazione, allora
$int (2sinxcosx)/(1+sin^2x) dx = int (d(1+sin^2x))/(1+sin^2x) = log(1+sin^2x)
che calcolato tra $0$ e $2pi$ fa 0...

credo che ENEA lo voglia risolvere con i residui

[Sk_Anonymous]

"nicasamarciano":[quote="fireball"]Guarda è molto semplice...
$sin(2x)=2sinxcosx$ per le formule di
duplicazione, allora
$int (2sinxcosx)/(1+sin^2x) dx = int (d(1+sin^2x))/(1+sin^2x) = log(1+sin^2x)
che calcolato tra $0$ e $2pi$ fa 0...

credo che ENEA lo voglia risolvere con i residui[/quote]

Si,l'ho fatto coi residui.è giusto il risultato?

[Sk_Anonymous]

Ho fatto così:

$int_0^(2pi)(sen(2x))/(1+sen^2x)dx=Int_Gamma(2i(z^4-1))/(z(z^4-6z^2+1))dz$ ove $Gamma:|z|=1,zinCC$

$Res(f,0)=-2i$
$Res(f,3-2sqrt3)=(2i(872-540sqrt3))/(24-12sqrt3)$

$I=2piisum_kRes$

[_nicola de rosa]

"ENEA84":Ho fatto così:

$int_0^(2pi)(sen(2x))/(1+sen^2x)dx=Int_Gamma(2i(z^4-1))/(z(z^4-6z^2+1))dz$ ove $Gamma:|z|=1,zinCC$

$Res(f,0)=-2i$
$Res(f,3-2sqrt3)=(2i(872-540sqrt3))/(24-12sqrt3)$

$I=2piisum_kRes$

la funzione ausiliaria a me viene $f(z)=(2(z^4-1))/(z(z^4-6z^2+1))=(2(z^4-1))/(z(z-sqrt2-1)(z+sqrt2+1)(z-sqrt2+1)(z+sqrt2-1))$ per cui i poli con $|z|=1$
sono $z=0,z=+-(sqrt2-1)$
Ora $R(sqrt2-1)=1,R(1-sqrt2)=1,R(0)=-2$ per cui
$int_(|z|=1)f(z)dz=2pi*i*(R(sqrt2-1)+R(1-sqrt2)+R(0))=0$

[Sk_Anonymous]

$1/iint_Gamma(-2(z^4-1))/(z(z^4-6z^2+1))dz=1/iint_Gamma(2i^2(z^4-1))/(z(z^4-6z^2+1)dz$?

[Sk_Anonymous]

Avevo dimenticato che l'equazione era biquadratica.

Per quanto riguarda il segno meno?

[_nicola de rosa]

"ENEA84":$1/iint_Gamma(-2(z^4-1))/(z(z^4-6z^2+1))dz=1/iint_Gamma(2i^2(z^4-1))/(z(z^4-6z^2+1)dz$?

$sin2x=(z^4-1)/(2*i*z^2)$
$sin^2x=((z^2-1)/(2*i*z))^2=(z^4-2z^2+1)/(-4z^2)$ per cui
$1+sin^2x=(z^4-6z^2+1)/(-4z^2)$
Inoltre $dx=1/(i*z)dz$ per cui
$((z^4-1)/(2*i*z^2))/((z^4-6z^2+1)/(-4z^2))*1/(i*z)=2(z^4-1)/(z(z^4-6z^2+1))$

[_nicola de rosa]

"ENEA84":Avevo dimenticato che l'equazione era biquadratica.

Per quanto riguarda il segno meno?

quale segno meno?

[Sk_Anonymous]

"nicasamarciano":[quote="ENEA84"]Avevo dimenticato che l'equazione era biquadratica.

Per quanto riguarda il segno meno?

quale segno meno?[/quote]

Perchè è sbagliato:$1/iint_Gamma(-2(z^4-1))/(z(z^4-6z^2+1))dz=1/iint_Gamma(2i^2(z^4-1))/(z(z^4-6z^2+1)dz$?

Un'altra cosa......come fai a scomporre ildenominatore in quel modo?ti risolvi la biquadratica e poi utilizzi la regola sui radicali doppi?!!

[Sk_Anonymous]

Ho capito...non consideravo una $i$

per la biquadratica?

[_nicola de rosa]

"ENEA84":Ho capito...non consideravo una $i$

per la biquadratica?

$z^4-6z^2+1=(z^2-(3+2sqrt2))(z^2-(3-2sqrt2))$ e per i radicali doppi $3+2sqrt2=(sqrt2+1)^2,3-2sqrt2=(sqrt2-1)^2$