Integrale

[rico]

ciao sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$int(2t^2)/((t^2-1)^2)dt$
fratta e quindi:
$A/(t+1)+B/((t+1)^2)+C/(t-1)+D/((t-1)^2)$
mi viene fuori il seguente sistema che nn so ne se giusto e ne come risolverlo:
${(A+C=0),(-A+C+D=0),(-8A-2B-2C+2D=0),(-10A-6B-2C=2),(-5A-4B+C-2D=0),(-A-B+C-D=0):}$
grazie!

[fireball1]

Io procederei per parti, assumendo...
$f'(t)=(2t)/(t^2-1)^2=2t(t^2-1)^(-2)$, $g(t)=t$

[rico]

si ma $f(t)$ nn viene una cosa grossa?

[fireball1]

Altroche'... Hai una funzione elevata alla $-2$
moltiplicata per la sua derivata, quindi
$int 2t(t^2-1)^(-2) dt = int (t^2-1)^(-2) d(t^2) = ...

[rico]

pero cosi $int(2t^2)/((t^2-1)^2)dt=2int(t^2-1)^(-2)dt^2$??

[fireball1]

Guarda ti faccio il primo passaggio...
$int (2t^2)/(t^2-1)^2 dt = t/(1-t^2) - int 1/(1-t^2) dt=...
continua tu.

[Kroldar]

Alternativamente, si può anche decomporre in fratti semplici (come aveva già congetturato richard) e trovare le costanti in modo immediato, anziché impostare e risolvere un noioso sistema in $4$ incognite...
$A$ e $B$ sono i coefficienti di Laurent $c_(-1)$ e $c_(-2)$ intorno a $-1$ rispettivamente, mentre $C$ e $D$ sono i coefficienti di Laurent $c_(-1)$ e $c_(-2)$ intorno a $1$ rispettivamente...
Semplicemente, risulta:
$A = -1/2$
$B = C = D = 1/2$

[rico]

gracias

[fireball1]

"Kroldar":$A$ e $B$ sono i coefficienti di Laurent $c_(-1)$ e $c_(-2)$ intorno a $-1$ rispettivamente, mentre $C$ e $D$ sono i coefficienti di Laurent $c_(-1)$ e $c_(-2)$ intorno a $1$ rispettivamente...
Semplicemente, risulta...

E chi li ha studiati i coefficienti di Laurent?