Integrale
Applicando il teorema dei residui,calcolare il seguente integrale:
$int_0^(2pi)dx/(2+sen2x)$
$int_0^(2pi)dx/(2+sen2x)$
Risposte
Tosto,vero?non ci prova nessuno?
Una sostituzione iniziale:
$int_0^{2pi}dx/(2+sin(2x)) = 1/2int_0^{4pi}dt/(2+sin(t)) = int_0^{2pi} dt/(2+sin(t))$
per il teorema dei residui si ha dunque...
$int_0^{2pi} dt/(2+sin(t)) = 2pi*sum_a Res_(a in E) (1/z * 1/(2+(z-z^{-1})/(2i)))$ dove E è il cerchio unitario centrato in $0$.
l'espressione di sopra è uguale a:
$2pi*sum_a Res_{a in E} ((2i) / (z^2+4iz -1))$
se non ho sbagliato i conti l'unico zero del denominatore $h(z) :=z^2+4iz-i$ in $E$ è: $\bar a:=(sqrt(3) -2)i$ e visto che è semplice,i.e. $h'(\bar a)=2isqrt(3)!=0$, abbiamo: $Res_{a in E} ((2i) / (z^2+4iz -1)) = (2i)/2sqrt(3)i = 1/sqrt(3)$
Dunque l'integrale dovrebbe dare:
$(2pi)/sqrt(3)$
(e ho verificato con mathematica, quadra)
Probabilmente non hai visto le formule che ho visto io e quindi non sarà chiarissimo. Però se hai dubbi chiedi pure
Ciao
$int_0^{2pi}dx/(2+sin(2x)) = 1/2int_0^{4pi}dt/(2+sin(t)) = int_0^{2pi} dt/(2+sin(t))$
per il teorema dei residui si ha dunque...
$int_0^{2pi} dt/(2+sin(t)) = 2pi*sum_a Res_(a in E) (1/z * 1/(2+(z-z^{-1})/(2i)))$ dove E è il cerchio unitario centrato in $0$.
l'espressione di sopra è uguale a:
$2pi*sum_a Res_{a in E} ((2i) / (z^2+4iz -1))$
se non ho sbagliato i conti l'unico zero del denominatore $h(z) :=z^2+4iz-i$ in $E$ è: $\bar a:=(sqrt(3) -2)i$ e visto che è semplice,i.e. $h'(\bar a)=2isqrt(3)!=0$, abbiamo: $Res_{a in E} ((2i) / (z^2+4iz -1)) = (2i)/2sqrt(3)i = 1/sqrt(3)$
Dunque l'integrale dovrebbe dare:
$(2pi)/sqrt(3)$
(e ho verificato con mathematica, quadra)
Probabilmente non hai visto le formule che ho visto io e quindi non sarà chiarissimo. Però se hai dubbi chiedi pure
Ciao
Se puoi spiegarmi tutti i passaggi te ne sarei grato......
Io avevo utilizzato le formule di Eulero....ma praticamente l'esercizio non finiva più...lunghissimo
tutti? qualcuno penso che ti sia chiaro...
la sostituzione è ok no?
la prima formula dei residui? ...
ad ogni caso, a meno che mi inticipi qc, rispondo stasera, ora non ho troppo tempo
ciau
la sostituzione è ok no?
la prima formula dei residui? ...
ad ogni caso, a meno che mi inticipi qc, rispondo stasera, ora non ho troppo tempo
ciau
Credo che i calcoli non siano esatti.....$2+(z-z^-1)/2$ fa $(z^2+4z-1)/(2z)$ che moltiplicato per $z$ e preso il reciproco dà
$(2)/(z^2+4z-1)$ da dove spunta $4iz$? e perchè il numero uno sotto diventa $i$?
A parte ciò,non ho capito da dove prendi $E$
$(2)/(z^2+4z-1)$ da dove spunta $4iz$? e perchè il numero uno sotto diventa $i$?
A parte ciò,non ho capito da dove prendi $E$
Mi sembra di ricordare che tu possiedi il libro variabili complesse della collana schaum's.
Se vai a pagina 180 capitolo 7, ci sono diversi esercizi svolti su questo tipo di integrali.
Se dopo trovi qualche difficoltà chiedi pure.
Magari posta il tuo procedimento, cosi' almeno possiamo vedere in quale punto trovi difficoltà.
Se vai a pagina 180 capitolo 7, ci sono diversi esercizi svolti su questo tipo di integrali.
Se dopo trovi qualche difficoltà chiedi pure.
Magari posta il tuo procedimento, cosi' almeno possiamo vedere in quale punto trovi difficoltà.
"ENEA84":
Credo che i calcoli non siano esatti.....$2+(z-z^-1)/2$ fa $(z^2+4z-1)/(2z)$ che moltiplicato per $z$ e preso il reciproco dà
$(2)/(z^2+4z-1)$ da dove spunta $4iz$? e perchè il numero uno sotto diventa $i$?
A parte ciò,non ho capito da dove prendi $E$
Scusa, ho dimenticato una $i$ nella prima espressione, ora correggo.
Comunque: io ho utilizzato il seguente 'teorema' (anche se è una conseguenza abbastanza immediata del teorema dei residui):
- Sia $R(cos(t),sin(t))$ una funzione razionale in $sin(t)$ e $cos(t)$ definita per $t in [0;2pi]$. Allora:
$int_0^(2pi) R(cos(t),sin(t)) dt = 2pi sum_(a in E) Res_a \bar R$ , dove $\bar R(z):= 1/z*R(1/2(z+1/z),1/(2i)*(z-1/z))$
Inoltre ho utilizzato anche verso la fine:
- se $1/h$ ha un polo di ordine 1 in $z_0$, allora $Res_(z_0) (1/h) = 1/(h'(z_0))$
Ho capito.Grazie
@piera
Non ho avuto difficoltà a risolvere questo esercizio,solo che,non ricordando l'esistenza delle formule usate da leev,praticamente i calcoli non finivano mai e ciò mi pareva strano dal momento che non avevo incontrato calcoli laboriosi negli altri esercizi che sto prendendo dai compiti passati del mio prof.Tutto qua.
Grazie ancora.
@piera
Non ho avuto difficoltà a risolvere questo esercizio,solo che,non ricordando l'esistenza delle formule usate da leev,praticamente i calcoli non finivano mai e ciò mi pareva strano dal momento che non avevo incontrato calcoli laboriosi negli altri esercizi che sto prendendo dai compiti passati del mio prof.Tutto qua.
Grazie ancora.
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