Integrale

[Sk_Anonymous]

Calcolare:

$int_Gammasen(1/(z-1))cos(1/z^2)dz$ ove $Gamma:|z|=3$

[Piera4]

In un primo momento ho pensato di calcolarlo con il teorema dei residui.
C'è solo un problema: le singolarità $z=0$ e $z=1$ non sono dei poli e il calcolo dei residui ad essi associati diventa proibitivo.
Allora conviene applicare il seguente risultato:
la somma di tutti i residui di una funzione, compreso il residuo all'infinito è nulla.
Questo significa che la somma di tutti i residui è uguale al residuo della funzione all'infinito cambiato di segno.
Pertanto
$int_Gammaf(z)dz=-2pii*res(f,infty)$.
Per risolvere il problema basterà calcolare $res(f,infty)$.
Il residuo di f all'infinito è per definizione:
$res(-f(1/z)/z^2,0)$, ovvero il residuo di $-f(1/z)/z^2$ calcolato in $z=0$.
Nel nostro caso si deve calcolare il residuo di
$-(sen(1/(1/z-1))*cosz^2)/z^2=-(sen(z/(1-z))*cosz^2)/z^2$ in $z=0$.
Ci si rende conto facilmente che $z=0$ è un polo semplice, quindi
$res(-f(1/z)/z^2,0)=lim_(z->0)z*(-(sen(z/(1-z))*cosz^2)/z^2)=-1$.
Il valore del nostro integrale è pertanto
$int_Gammasen(1/(z-1))cos(1/z^2)dz=2pii$.

[Sk_Anonymous]