Integrale
Cè un modo di risolvere questo integrale senza una sfilza di calcoli?
$\int 1/(x^2+a^2)^2dx$
$\int 1/(x^2+a^2)^2dx$
Risposte
E' una funzione razionale, per cui, volente o nolente, si applica la teoria standard dell'integrazione delle funzioni razionali.
Io so come si calcola l'integrale quando a denominatore c'è una radice complessa di molteplicità 1(viene arctan). Ma in questo caso ci sono 2 radici complesse di molteplicità 2.Come si fa?
Up!
consideriamo $f(x)=1/(x^2+a^2)^2$... per la formula di Hermite risulta
$f(x)=1/(2a^2)(1/(x^2+a^2)+ d/dx x/(x^2+a^2))$ quindi
$int1/(x^2+a^2)^2dx=1/(2a^2)int1/(x^2+a^2)dx+1/(2a^2)intd/dx x/(x^2+a^2)dx$ da cui banalmente
$int1/(x^2+a^2)^2dx=1/(2a^2) (arctg(x/a))/a + 1/(2a^2) x/(x^2+a^2)=(arctg(x/a))/(2a^3)+x/((2a^2)(x^2+a^2))$ a meno di un termine additivo costante... il risultato notevole è la presenza della derivata che si elide con l'integrale, quindi l'unico integrale che abbiamo dovuto calcolare è stato $int1/(x^2+a^2)dx$ che è un integrale immediato come ha giustamente sottolineato JvloIvk... il risultato resta valido per ogni $a in CC-{0}$
$f(x)=1/(2a^2)(1/(x^2+a^2)+ d/dx x/(x^2+a^2))$ quindi
$int1/(x^2+a^2)^2dx=1/(2a^2)int1/(x^2+a^2)dx+1/(2a^2)intd/dx x/(x^2+a^2)dx$ da cui banalmente
$int1/(x^2+a^2)^2dx=1/(2a^2) (arctg(x/a))/a + 1/(2a^2) x/(x^2+a^2)=(arctg(x/a))/(2a^3)+x/((2a^2)(x^2+a^2))$ a meno di un termine additivo costante... il risultato notevole è la presenza della derivata che si elide con l'integrale, quindi l'unico integrale che abbiamo dovuto calcolare è stato $int1/(x^2+a^2)dx$ che è un integrale immediato come ha giustamente sottolineato JvloIvk... il risultato resta valido per ogni $a in CC-{0}$
Esiste al riguardo una formula piu' generale ( che invito a dimostrare)
ed e' la seguente ( n intero $>=2$):
$int1/((a^2+x^2)^n)dx=x/(a^2(2n-2)(a^2+x^2)^(n-1))+(2n-3)/(a^2(2n-2))int1/(a^2+x^2)^(n-1)dx$
Ovviamente per n=2 si ottiene il risultato gia' indicato e per n>2 la formula
richiede dei passaggi in piu' per ricorrenza ma puo' essere utile in certi casi.
karl
ed e' la seguente ( n intero $>=2$):
$int1/((a^2+x^2)^n)dx=x/(a^2(2n-2)(a^2+x^2)^(n-1))+(2n-3)/(a^2(2n-2))int1/(a^2+x^2)^(n-1)dx$
Ovviamente per n=2 si ottiene il risultato gia' indicato e per n>2 la formula
richiede dei passaggi in piu' per ricorrenza ma puo' essere utile in certi casi.
karl
L'integrale indefinito rappresenta l'insieme delle primitive di una funzione $f(x)$, ossia delle funzioni $F(x)+c:F'(x)=f(x)$ dove $c$ è una costante. La derivata di una qualsiasi di queste funzioni, dà lo stesso risultato ossia la funzione integranda $f(x)$, quindi per dimostrare quella formula basta verificare che le derivate a membro a membro siano identicamente uguali, l'ho fatto e torna, ma non ho voglia di postare i calcoli.
Ciao
Ciao
Quella che suggerisce cavalli non e' una vera e propria dimostrazione
ma la verifica di una formula gia' nota.La mia intenzione ,invece,era di
far dimostrare la formula a secondo membro.
In altre parole si tratta di porre qualcosa al secondo membro della seguente
relazione:
$int 1/((x^2+a^2)^n)dx=?$
ovviamente senza far riferimento alla formula da me indicata.
karl
ma la verifica di una formula gia' nota.La mia intenzione ,invece,era di
far dimostrare la formula a secondo membro.
In altre parole si tratta di porre qualcosa al secondo membro della seguente
relazione:
$int 1/((x^2+a^2)^n)dx=?$
ovviamente senza far riferimento alla formula da me indicata.
karl
Effettivamente nel mio esempio ho usato un caso particolare della formula di Hermite, che in generale permette di scomporre una funzione razionale fratta nella somma di una funzione razionale fratta e la derivata di una funzione razionale fratta. Ecco spiegato perché nel secondo membro del risultato postato da karl compare solo una funzione sotto il segno di intergrale, mentre l'altra funzione (che nella decomposizione secondo Hermite è il termine da derivare) non è integrata poiché l'integrale è stato annullato dalla presenza della derivata.
"Kroldar":
consideriamo $f(x)=1/(x^2+a^2)^2$... per la formula di Hermite risulta
$f(x)=1/(2a^2)(1/(x^2+a^2)+ d/dx x/(x^2+a^2))$ quindi
$int1/(x^2+a^2)^2dx=1/(2a^2)int1/(x^2+a^2)dx+1/(2a^2)intd/dx x/(x^2+a^2)dx$ da cui banalmente
$int1/(x^2+a^2)^2dx=1/(2a^2) (arctg(x/a))/a + 1/(2a^2) x/(x^2+a^2)=(arctg(x/a))/(2a^3)+x/((2a^2)(x^2+a^2))$ a meno di un termine additivo costante... il risultato notevole è la presenza della derivata che si elide con l'integrale, quindi l'unico integrale che abbiamo dovuto calcolare è stato $int1/(x^2+a^2)dx$ che è un integrale immediato come ha giustamente sottolineato JvloIvk... il risultato resta valido per ogni $a in CC-{0}$
Inanzitutto grazie per avermi presentato a hermite...Per detrminare tutti i coefficenti a numeratore hai fatto il sistema di 4 equazioni e 4 incognite?
Qunto alla formula iterativa non ho la minima idea di come dimostrarla.Dall'aspetto direi integrazione per parti ma per quanto ci provi non esce mai nulla di buono. La formula di Hermite si può applicare
?
Com'è finita?Come si dimostra la formula di karl?
La formula di karl (o quasi!) ce l'hanno mostrata a lezione... senza perdere di generalità si può supporre a=1 (al max si raccoglie una a, sostituzione e via...)... Poi si utilizza l'identità:
$1/(1+x^2)^n=1/(1+x^2)^(n-1)-x^2/(1+x^2)^n$
indicando con $I_n$ l'integrale, si vuole ottenere una formula ricorsiva. Integrando la precedente:
$I_n=I_(n-1)-\int x/2*D( (1+x^2)^(-n+1)/(-n+1) )dx$
ove con D intendo la derivata rispetto ad x.
Procedendo per parti come suggerito dalla scrittura, si ottiene una formula ricorsiva...
L'impostazione credo sia quella, poi c'è tutto il resto da fare
$1/(1+x^2)^n=1/(1+x^2)^(n-1)-x^2/(1+x^2)^n$
indicando con $I_n$ l'integrale, si vuole ottenere una formula ricorsiva. Integrando la precedente:
$I_n=I_(n-1)-\int x/2*D( (1+x^2)^(-n+1)/(-n+1) )dx$
ove con D intendo la derivata rispetto ad x.
Procedendo per parti come suggerito dalla scrittura, si ottiene una formula ricorsiva...
L'impostazione credo sia quella, poi c'è tutto il resto da fare
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