Integrale

[dazuco]

[8D](sin(x))^3 * (cos(x))^2 dx

Ho provato a fare in questo modo.
[8D]sin(x) * (sin(x))^2 * (cos(x))^2 dx
quindi
-[8D](sin(x))^2 * (cos(x))^2 d(cos(x))
Sfrutto identità trigonometrica (sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
e poi sostituisco cos(x) = t

diventa

-[8D]t^2 dt + [8D]t^4 dt

Con il risultato

- t^3/3 + t^5/5
ossia
- (cos(x)^3) / 3 + (cos(x)^5)/5 + c

Mi sembra corretto, però, se poi vado a fare la controprova, ossia derivo il risultato ottengo

sin(x) * [ (cos(x)^2) - (cos(x)^4)]
????????

[Camillo]

Nella derivata che ottieni raccogli entro parentesi : [cosx]^2 e otterrai :
senx * ([cosx]^2)* [(1- (cos x)^2 ] = [(senx)^3] * (cos x)^2 che è appunto quello che ti aspettavi.
Camillo

[dazuco]

Ti ringrazio!!!

[magliocurioso]

Scusate se mi intrometto, ma sfogliando tra i vari formulari e tabelle di integrazione ho trovato questa piccola perla

$int sin^m x cos^n x dx$ = $(sin^(m+1) x cos^(n-1)x)/(m+n)$ + $(n-1)/(m+n)intsin^m x cos^(n-2)x dx$

non ho ancora però avuto il tempo di dimostrare tale formula. Voi cosa ne pensate?

[Gaal Dornick]

ricordo che era facile e pallosa.. per induzione

[magliocurioso]

La si può dimostrare solo per induzione? Non esiste qualche via analitica?