Integrale
Considerati la forma differenziale:
w=udx+vdy
u=3x^2y^2-y/((x-1)^2+y^2); v=2x^3y+(x-1)/((x-1)^2+y^2);
L'integrale di w lungo la curva B definita dalla seguente figura.
Grazie.
w=udx+vdy
u=3x^2y^2-y/((x-1)^2+y^2); v=2x^3y+(x-1)/((x-1)^2+y^2);
L'integrale di w lungo la curva B definita dalla seguente figura.
Grazie.
Risposte
Allora, la 1-forma w è esatta. Per dimostrarlo basta fare il rotore del vettore (u, v, 0) e vedere che esso è identicamente nullo.
Una volta dimostrato questo (i calcoli sono semplicissimi), abbiamo la sicurezza che l'integrale cercato non dipende dal cammini.
Basta allora calcolarlo sul segmento (0,-1) , (0,1).
Anche questo calcolo è semplice e si perviene al risultato
-pigreco/2 .
s.e.e.o.
Ciao.
Una volta dimostrato questo (i calcoli sono semplicissimi), abbiamo la sicurezza che l'integrale cercato non dipende dal cammini.
Basta allora calcolarlo sul segmento (0,-1) , (0,1).
Anche questo calcolo è semplice e si perviene al risultato
-pigreco/2 .
s.e.e.o.
Ciao.
Sorry, ma temo di essere caduto nel tranello !!!
In (1,0), la 1-forma non è definita, per cui l'ipotesi su cui mi sono basato (il teorema di Stokes) non vale più.
Poi, la seconda parte della 1-forma (quella con le frazioni) è il cosiddetto "indice" rispetto a (1,0) per cui la 1-forma si può sdoppiare in due parti. La prima è normalissima, la seconda è l'indice.
Devo rivedere il tutto, così ne approfitto per ripassarmi bene le 1-forme ...
Ciao.
In (1,0), la 1-forma non è definita, per cui l'ipotesi su cui mi sono basato (il teorema di Stokes) non vale più.
Poi, la seconda parte della 1-forma (quella con le frazioni) è il cosiddetto "indice" rispetto a (1,0) per cui la 1-forma si può sdoppiare in due parti. La prima è normalissima, la seconda è l'indice.
Devo rivedere il tutto, così ne approfitto per ripassarmi bene le 1-forme ...
Ciao.
Scusa la domanda, òneiros, ma quale programma hai usato per fare quel disegno?
Forse ci sono.
E' un po' complicato. La 1-forma, secondo me, bisogna scomporla così :
w = w1 + w2 =
3x^2y^2dx + 2x^3ydy +
(-y/((x-1)^2+y^2))dx + ((x-1)/((x-1)^2+y^2))dy
L'integrale lungo la curva B risulta :
int(B)w = int(B)w1 + int(B)w2
Il primo integrale è banale e dà 0 perchè la w1 è esatta
(w1 = d(x^3y^2)) e perchè i punti (0,1) (0,-1) hanno l'ascissa nulla.
Il secondo integrale è più complicato.
Invece del cammino B , considero il cammino equivalente che parte da (0,1) e va in (0,-1) (2,-1) (2,1) (0,1) percorso 2 volte ed ancora va in (0,-1).
Essendo l'integrale di w2 su una curva chiusa che contine (1,0) l'indice della curva rispetto appunto (1,0), esso varrà per un giro 2pigreco. Siccome i giri sono due, avrò 4pigreco.
A questo risultato devo infine aggiungere l'integrale sul segmento (0,1) (0,-1) che (il calcolo è facile) dà pigreco/2.
Tolale, quindi, = 5pigreco/2 .
s.e.e.o.
Saluti.
ps. probabilmente c'è un modo più veloce ma io sono un po' "arrugginito" su queste problematiche ...
E' un po' complicato. La 1-forma, secondo me, bisogna scomporla così :
w = w1 + w2 =
3x^2y^2dx + 2x^3ydy +
(-y/((x-1)^2+y^2))dx + ((x-1)/((x-1)^2+y^2))dy
L'integrale lungo la curva B risulta :
int(B)w = int(B)w1 + int(B)w2
Il primo integrale è banale e dà 0 perchè la w1 è esatta
(w1 = d(x^3y^2)) e perchè i punti (0,1) (0,-1) hanno l'ascissa nulla.
Il secondo integrale è più complicato.
Invece del cammino B , considero il cammino equivalente che parte da (0,1) e va in (0,-1) (2,-1) (2,1) (0,1) percorso 2 volte ed ancora va in (0,-1).
Essendo l'integrale di w2 su una curva chiusa che contine (1,0) l'indice della curva rispetto appunto (1,0), esso varrà per un giro 2pigreco. Siccome i giri sono due, avrò 4pigreco.
A questo risultato devo infine aggiungere l'integrale sul segmento (0,1) (0,-1) che (il calcolo è facile) dà pigreco/2.
Tolale, quindi, = 5pigreco/2 .
s.e.e.o.
Saluti.
ps. probabilmente c'è un modo più veloce ma io sono un po' "arrugginito" su queste problematiche ...
Alcune precisazioni.
1) il risultato è 4pigreco + pigreco/2 = 9picreco/2 (faccio troppi errori di calcolo ...)
2) dal punto di vista dei numeri complessi si ha :
dz/(z - z0) =
((x - x0)dx + (y - y0)dy)/((x - x0)^2 + (y - y0)^2) +
i(-(y - y0)dx + (x - x0)dy)/((x - x0)^2 + (y - y0)^2)
la prima è una 1-forma esatta con potenziale
f(x,y) = (1/2)ln((x - x0)^2 + (y - y0)^2) ,
mentre la seconda (a parte la i) è la 1-forma che in precedenza ho chiamato w2 dove x0=1 e y0=0 .
3) il rotore del vettore (u, v, 0) è nullo su R^2 - (1,0)(dimostrazione immediata). Se la 1-forma w = udx + vdy fosse definita in un insieme compatto e semplicemente connesso, questo mi garantirebbe che la 1-forma è esatta (per il teorema di Stokes). Nel nostro caso la 1-forma w non è definita in (1,0) per cui devo prendere un insieme che escluda il punto (1,0), tipo una corona. In questo caso il flusso del rotore sarebbe sempre nullo ma, avendo due bordi su cui fare la circuitazione, non potrei sapere quanto vale la circuitazione su un solo bordo.
Ciao.
1) il risultato è 4pigreco + pigreco/2 = 9picreco/2 (faccio troppi errori di calcolo ...)
2) dal punto di vista dei numeri complessi si ha :
dz/(z - z0) =
((x - x0)dx + (y - y0)dy)/((x - x0)^2 + (y - y0)^2) +
i(-(y - y0)dx + (x - x0)dy)/((x - x0)^2 + (y - y0)^2)
la prima è una 1-forma esatta con potenziale
f(x,y) = (1/2)ln((x - x0)^2 + (y - y0)^2) ,
mentre la seconda (a parte la i) è la 1-forma che in precedenza ho chiamato w2 dove x0=1 e y0=0 .
3) il rotore del vettore (u, v, 0) è nullo su R^2 - (1,0)(dimostrazione immediata). Se la 1-forma w = udx + vdy fosse definita in un insieme compatto e semplicemente connesso, questo mi garantirebbe che la 1-forma è esatta (per il teorema di Stokes). Nel nostro caso la 1-forma w non è definita in (1,0) per cui devo prendere un insieme che escluda il punto (1,0), tipo una corona. In questo caso il flusso del rotore sarebbe sempre nullo ma, avendo due bordi su cui fare la circuitazione, non potrei sapere quanto vale la circuitazione su un solo bordo.
Ciao.
Ti ringrazio arriama, sei stato molto chiaro. Ciao
Ho usato Microsoft Word.
citazione:
Scusa la domanda, òneiros, ma quale programma hai usato per fare quel disegno?
Ho usato Microsoft Word.
Puoi aiutarmi ancora arriama mi è sorto un dubbio:
quando risolvo l'integrale w2 che è uguale a
-arctg((x-1)/y)+arctg(y/(x-1))+4pigreco (vero?)
come sostituisco (0,1) e (0,-1)?
Per caso è così w2(0,1)-w2(0,-1)+4pigreco (non credo!!)
Ti ringrazio.
quando risolvo l'integrale w2 che è uguale a
-arctg((x-1)/y)+arctg(y/(x-1))+4pigreco (vero?)
come sostituisco (0,1) e (0,-1)?
Per caso è così w2(0,1)-w2(0,-1)+4pigreco (non credo!!)
Ti ringrazio.
Con piacere ! Però non prendere quello che ti dico per oro colato. Io non sono un professionista della matematica.
Dunque. Io quell'integrale lo risolverei ricavando l'equazione parametrica del segmento (0,1) (0,-1) e poi ricordando che :
int(fdx + gdy) = int(fdx/dt + gdy/dt)dt
I calcoli, nel nostro caso, sono banali e dovrebbero portare a pigreco/2.
Ciao.
Dunque. Io quell'integrale lo risolverei ricavando l'equazione parametrica del segmento (0,1) (0,-1) e poi ricordando che :
int(fdx + gdy) = int(fdx/dt + gdy/dt)dt
I calcoli, nel nostro caso, sono banali e dovrebbero portare a pigreco/2.
Ciao.
Arriama, volendo puoi anche usare i simboli matematici che ho inviato ad Admin.
Li trovi nell'icona della sommatoria che si trova nella sezione "formato", quando inserisci un post:
Modificato da - fireball il 04/03/2004 17:07:13
Li trovi nell'icona della sommatoria che si trova nella sezione "formato", quando inserisci un post:
Modificato da - fireball il 04/03/2004 17:07:13
Grazie fireball
ci ho provato, ma viene fuori il codice dell'immagine con le parentesi quadre.
Adesso ci riprovo con un segno di integrale :
ci ho provato, ma viene fuori il codice dell'immagine con le parentesi quadre.
Adesso ci riprovo con un segno di integrale :
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Questa espressione si può scrivere racchiudendo il testo tra [code'] (senza apice) e [/code]
Guardati i topic nel forum "Generale" per maggiori dettagli... C'è scritto tutto.
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