Integrale 1/(x^2+x+1)

[mike.961]

Salve a tutti, nel calcolo di un integrale mi sono bloccato quando sono arrivato al segunte:

\(\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2+x+1}}\)

Come potrei procedere? Grazie a chiunque mi aiuti.

[feddy]

ciao,

poiché il discriminante del denominatore è negativo, questo tipo di integrale deve essere ricondotto tramite il completamento del quadrato a una forma nota.

$x^2 + x+ 1 = x^2 +x +1 + 1/4 - 1/4$

Se riusciamo a scrivere la precedente uguaglianza come somma di quadrati siamo apposto.

$(x+1/2)^2 + 3/4$

Abbiamo dunque: $ int_()^() dx/((x-1/2)^2 +3/4) $

ma poiché: $ int_()^() dx/(x^2 +a^2) = 1/a*arctan (x/a)+c $ allora il nostro integrale è:

$ 2/sqrt(3)*arctan((2x+1)/(sqrt(3))) $

[anto_zoolander]

Ciao

$int1/(x^2+x+1)dx$

ovviamente vorrei ricondurmi a una cosa del tipo $int(f'(x))/(1+[f'(x)]^2)dx$ e comincio moltiplicando numeratore e denominatore per $4$.

$4int1/(4x^2+4x+4)dx=4int1/((4x^2+4x+1)+3)dx=4int1/(3+(2x+1)^2)dx$

ora devo soltanto 'togliere di mezzo' quel $3$ e lo faccio raccogliendolo.

$4int1/3*1/(1+(2x+1)^2/3)dx$

ora essendo $3=(sqrt3)^2$ posso applicare una proprietà delle potenze.

$4/3int1/(1+((2x+1)/sqrt3)^2)dx$

l'ultima cosa che mi manca è avere $f'(x)$ che in questo caso è $D[(2x+1)/sqrt3]=2/sqrt3$

$2/sqrt3int2/sqrt3*1/(1+((2x+1)/sqrt3)^2)dx=2/sqrt3arctan((2x+1)/sqrt3)+c$