Integrale 1/cosx

[Slashino1]

Sono interessato alla risoluzione ( non il risultato ) di $int1/cosx dx $.
L'ho modificato con le formule di bisezione arrivando a $int(1/(1-(tan(x/2))^2))(1/(cos(x/2))^2) dx$.
Ho notato che $1/(cos(x/2))^2 $è la derivata di $2tan(x/2)$ ma non riesco a ricondurlo ad una delle forme note...

[gugo82]

Basta fare la sostituzione \(t=\tan \frac{x}{2}\) e decomporre l'integrando in fratti semplici.

[Slashino1]

Scusa, mi chiarischi qualche passaggio?
dopo aver posto $ tan^2(x/2)=t$ mi devo calcolare il differenziale derivando a sinistra e destra?
$(tan(x/2))/(cos^2(x/2))dx=dt$?

[gugo82]

Che senso ha chiedere consigli, se poi non segui quelli che ti vengono proposti?

Buona fortuna per il proseguimento del thread.

[avmarshall]

Con la sostituzione proposta da Gugo ottieni che quel coseno ti trasforma grazie alle equazioni parametriche. Le conosci? Sono uguaglianze che legano seno,coseno, tangente, e cotangente a $ t=tan(x/2) $ . Se le cerchi su google o anche su un libro del liceo le trovi.
Tornando al tuo integrale si ottiene che:

$ t=tan(x/2) $ ---> $ x/2=arctan(t) $ ---> $ x=2arctan(t) $ ---> $ dx=2/(1+t^2)dt $

Il coseno si trasforma (grazie a queste formule) diventa:

$ cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2) $

da cui sostituendo all'integrale ottieni un integrale che dovresti saper svolgere senza grossi problemi (come diceva Gugo grazie alla decomposizione in fratti semplici).

PS: ti consiglio caldamente di impararle perchè negli integrali di funzioni trigonometriche ti serviranno spessissimo!

[Plepp]

Fai come ha detto Gugo...poni
\[t:=\tan(x/2)\]
da cui $x=2\arctan(t)$ e quindi $dx=2/(1+t^2) dt$
La sostituzione ti risulta utile in quanto adesso
\[\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\]

EDIT: xD scusa se ho ripetuto qll ke hai detto @avmarshall, ho letto il tuo post alla fine

[Slashino1]

Mi sono accorto solo ora che la sostituzione che mi avevi suggerito è differente da quella che ho usato...Non c'è bisogno di essere così scorbutici, basta farmi notare che avevo fatto altro.

Grazie agli altri..