Integrale
$ intf*n ds $ dove $f(x,y,z)=(4x,2y,3z) e S={(x,y,z: x^2/16+y^2/4+z^2/9=1}$
per svolgere questo tipo di integrale c'è bisogno di applicare qualche teorema?
non so come affrontarlo..
ho provato ad impostarlo, ma non sono per niente convint
$int 4x ds n int 2y n ds int 3z n ds $
possibili risultati:
1) $144 pi$
2)$ 288 pi$
3)$ 77 pi$
4) $216 pi$
per svolgere questo tipo di integrale c'è bisogno di applicare qualche teorema?
non so come affrontarlo..
ho provato ad impostarlo, ma non sono per niente convint
$int 4x ds n int 2y n ds int 3z n ds $
possibili risultati:
1) $144 pi$
2)$ 288 pi$
3)$ 77 pi$
4) $216 pi$
Risposte
Ciao cri98,
La teoria però andrebbe studiata prima di mettersi a fare esercizi, altrimenti non ha alcun senso e poi si scrivono assurdità come quella che hai scritto...
"cri98":
ho provato ad impostarlo, ma non sono per niente convint
$\int 4xdsn\int2ynds\int3znds $
La teoria però andrebbe studiata prima di mettersi a fare esercizi, altrimenti non ha alcun senso e poi si scrivono assurdità come quella che hai scritto...
ciao pilloeffe
allora da quanto sono riuscito a capirne si tratta di calcolare il flusso del campo vettoriale
devo applicare il teorema della divergenza:
$ int int int_(V) diF dx dy dz =intintF*n ds $
divF= ( $ (partial_( f1))/(partial x) +(partial_( f2))/(partial y)+(partial_( f3))/(partial z) $
otterei quindi:
divF=(4,2,3) considerando$ f(x,y,z)=(4x,2y,3z) $
allora da quanto sono riuscito a capirne si tratta di calcolare il flusso del campo vettoriale
devo applicare il teorema della divergenza:
$ int int int_(V) diF dx dy dz =intintF*n ds $
divF= ( $ (partial_( f1))/(partial x) +(partial_( f2))/(partial y)+(partial_( f3))/(partial z) $
otterei quindi:
divF=(4,2,3) considerando$ f(x,y,z)=(4x,2y,3z) $
L'hai scritto un po' maluccio e qui l'hai scritta grossa:
Il teorema della divergenza dice quanto segue:
$ \int\int_{S}\mathbf{f} \cdot \mathbf{n}\text{d}s = \int\int\int_{V} grad \cdot \mathbf{f}\text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove nel caso in esame $\mathbf{f}(x,y,z) = (ax, by, cz)$, $ S := {(x,y,z) \in \RR^3 : x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1} $ con $a = 4$, $b = 2 $, $c = 3 $ e $ V := {(x,y,z) \in \RR^3 : x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 < 1} $. Quindi, essendo semplicemente $ \text{div} \mathbf{f} = grad \cdot \mathbf{f} = (del f_1)/(del x) +(del f_2)/(del y) +(del f_3)/(del z) = a + b + c = 4 + 2 + 3 = 9 $, si ha:
$ \int\int_{S}\mathbf{f} \cdot \mathbf{n}\text{d}s = \int\int\int_{V} grad \cdot \mathbf{f}\text{d}x \text{d}y \text{d}z = 9 \cdot \int\int\int_{V}\text{d}x \text{d}y \text{d}z= 9 \cdot 4/3 \pi abc = 9 \cdot 4/3 \pi \cdot 4 \cdot 2 \cdot 3 = 288\pi $
Pertanto la risposta corretta è la 2).
"cri98":
otterei quindi:
divF=(4,2,3) considerando $f(x,y,z)=(4x,2y,3z) $
Il teorema della divergenza dice quanto segue:
$ \int\int_{S}\mathbf{f} \cdot \mathbf{n}\text{d}s = \int\int\int_{V} grad \cdot \mathbf{f}\text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove nel caso in esame $\mathbf{f}(x,y,z) = (ax, by, cz)$, $ S := {(x,y,z) \in \RR^3 : x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1} $ con $a = 4$, $b = 2 $, $c = 3 $ e $ V := {(x,y,z) \in \RR^3 : x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 < 1} $. Quindi, essendo semplicemente $ \text{div} \mathbf{f} = grad \cdot \mathbf{f} = (del f_1)/(del x) +(del f_2)/(del y) +(del f_3)/(del z) = a + b + c = 4 + 2 + 3 = 9 $, si ha:
$ \int\int_{S}\mathbf{f} \cdot \mathbf{n}\text{d}s = \int\int\int_{V} grad \cdot \mathbf{f}\text{d}x \text{d}y \text{d}z = 9 \cdot \int\int\int_{V}\text{d}x \text{d}y \text{d}z= 9 \cdot 4/3 \pi abc = 9 \cdot 4/3 \pi \cdot 4 \cdot 2 \cdot 3 = 288\pi $
Pertanto la risposta corretta è la 2).
ciao pilloeffe,
sei stato chiarissimo, $ 4/3 pi$ deriva del volume del ellissoide$ (4/3piabc)$ giusto?
grazie
sei stato chiarissimo, $ 4/3 pi$ deriva del volume del ellissoide$ (4/3piabc)$ giusto?
grazie
ciao pilloeffe,
ho provato a risolvere un'esercizio simile:
$ intfn dS $ , dove $ f(x,y,z)=x,3z,2y) e S={(x,y,z):x^2+y^2/4+z^2/9=1}$
$ S := {(x,y,z) \in \RR^3 : x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1} $
a=1
b=3
c=2
$ V := {(x,y,z) \in \RR^3 : x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 < 1} $
$ \text{div} \mathbf{f} = grad \cdot \mathbf{f} = (del f_1)/(del x) +(del f_2)/(del y) +(del f_3)/(del z) = a + b + c = 1+0+0 = 1 $
$ \int\int_{S}\mathbf{f} \cdot \mathbf{n}\text{d}s = \int\int\int_{V} grad \cdot \mathbf{f}\text{d}x \text{d}y \text{d}z = 1 \cdot \int\int\int_{V}\text{d}x \text{d}y \text{d}z= 1 \cdot 4/3 \pi abc = 1 \cdot 4/3 \pi \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 8\pi $
grazie
ho provato a risolvere un'esercizio simile:
$ intfn dS $ , dove $ f(x,y,z)=x,3z,2y) e S={(x,y,z):x^2+y^2/4+z^2/9=1}$
$ S := {(x,y,z) \in \RR^3 : x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1} $
a=1
b=3
c=2
$ V := {(x,y,z) \in \RR^3 : x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 < 1} $
$ \text{div} \mathbf{f} = grad \cdot \mathbf{f} = (del f_1)/(del x) +(del f_2)/(del y) +(del f_3)/(del z) = a + b + c = 1+0+0 = 1 $
$ \int\int_{S}\mathbf{f} \cdot \mathbf{n}\text{d}s = \int\int\int_{V} grad \cdot \mathbf{f}\text{d}x \text{d}y \text{d}z = 1 \cdot \int\int\int_{V}\text{d}x \text{d}y \text{d}z= 1 \cdot 4/3 \pi abc = 1 \cdot 4/3 \pi \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 8\pi $
grazie
Occhio che ci sono degli errori, anche se poi il risultato è corretto: scrivi bene e con più attenzione...
allora ottengo:
(qui considero l'ellisse)
a=1
b=2
c=3
$ \int\int_{S}\mathbf{f} \cdot \mathbf{n}\text{d}s = \int\int\int_{V} grad \cdot \mathbf{f}\text{d}x \text{d}y \text{d}z = 1 \cdot \int\int\int_{V}\text{d}x \text{d}y \text{d}z= 1 \cdot 4/3 \pi abc = 1 \cdot 4/3 \pi \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 8\pi $
(qui considero l'ellisse)
a=1
b=2
c=3
$ \int\int_{S}\mathbf{f} \cdot \mathbf{n}\text{d}s = \int\int\int_{V} grad \cdot \mathbf{f}\text{d}x \text{d}y \text{d}z = 1 \cdot \int\int\int_{V}\text{d}x \text{d}y \text{d}z= 1 \cdot 4/3 \pi abc = 1 \cdot 4/3 \pi \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 8\pi $
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