Integrale

[Ragazzo1231]

Ciao, non riesco a svolgere per intero questo esercizio:
$ int(4x-5)/(x^2-2x+10) dx $

io ho iniziato così:

$ int (4x-4-1)/(x^2-2x+10) dx $

$ int (4x-4)/(x^2-2x+10) dx- int 1/(x^2-2x+10) dx $

$ int (2(2x-2))/(x^2-2x+10) dx- int 1/(x^2-2x+10) dx $

$2 int ((2x-2))/(x^2-2x+10) dx- int 1/(x^2-2x+10) dx $

questa parte qui: $2 int ((2x-2))/(x^2-2x+10) dx$ è uguale al $ln(x^2-2x+10)$

ma non riesco a capire come continuare con $int 1/(x^2-2x+10) dx$, un aiuto?

[Mephlip]

Prova a completare il quadrato al denominatore e cercare di ricondurti all'integrale che ha come primitiva l'arcotangente.

[DeltaEpsilon]

Ciao, iniziamo subito.

Le radici del polinomio al denominatore sono complesse, difatti il delta è negativo.
Esse sono \(\displaystyle 1\pm 3i \)

Posso allora riscrivere il trinomio di secondo grado come \(\displaystyle (x-1)^2+9 \)

\(\displaystyle \int \frac{1}{(x-1)^2+9}dx \)

Sostituisco \(\displaystyle t = \frac{x-1}{3} \) e risulta \(\displaystyle dx = 3dt \)

\(\displaystyle \int \frac{3}{9t^2+9}dt \)

\(\displaystyle \frac{1}{3} \int \frac{1}{t^2+1}dt \)

Che è proprio

\(\displaystyle \frac{\arctan t}{3}+c \)

cioè, sostituendo

\(\displaystyle \frac{\arctan \frac{x-1}{3}}{3}+c \)