Integrale

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7 apr 2018, 15:39

Buon pomeriggio non capisco come si sviluppano questi tipi di integrali: $ Int{dx/[(x^2)(x^2+2)^2]} $ so che devo usare la formula di hermite-ostrogrand
Grazie in anticipo

Risposte

pilloeffe

7 apr 2018, 14:51

Ciao VALE0,

Proverei con la scomposizione seguente:

$ frac{1}{x^2(x^2+2)^2} = frac{A}{x} + frac{B}{x^2} + frac{Cx + D}{x^2+2} + frac{Ex + F}{(x^2+2)^2} = $
$ = frac{Ax(x^2 + 2)^2 + B(x^2 + 2)^2 + (Cx^3 + Dx^2)(x^2 + 2) + Ex^3 + Fx^2}{x^2(x^2+2)^2} = $
$ = frac{Ax(x^4 + 4x^2 + 4) + B(x^4 + 4x^2 + 4) + Cx^5 + 2Cx^3 + Dx^4 + 2Dx^2 + Ex^3 + Fx^2}{x^2(x^2+2)^2} = $
$ = frac{Ax^5 + 4Ax^3 + 4Ax + Bx^4 + 4Bx^2 + 4B + Cx^5 + 2Cx^3 + Dx^4 + 2Dx^2 + Ex^3 + Fx^2}{x^2(x^2+2)^2} = $
$ = frac{(A + C)x^5 + (B + D)x^4 + (4A + 2C + E)x^3 + (4B + 2D + F)x^2 + 4Ax + 4B}{x^2(x^2+2)^2} $

Per il principio di identità dei polinomi si trova subito che $A = 0 $ e $B = 1/4 $, $ C = 0 $, $D = -1/4 $, $ E = 0 $ e $F = -1/2 $. Dunque la scomposizione della funzione integranda è la seguente:

$ frac{1}{x^2(x^2+2)^2} = frac{1}{4x^2} - frac{1}{4(x^2 + 2)} - frac{1}{2(x^2 + 2)^2} $

Ora che il grosso del lavoro è stato fatto, prova a continuare tu...

VALE014

7 apr 2018, 16:29

Così mi esce ma il mio libro invece di cx+D mette la derivata e non capisco il perché

Ernesto011

7 apr 2018, 17:23

Forse perchè il tuo libro usa la formula che hai citato, dovresti per lo meno leggere la definizione e poi al limite puoi chiedere cosa non ti é charo.

pilloeffe

7 apr 2018, 18:57

Non avevo capito che dovessi "per forza" usare la formula con la derivata, che fra l'altro nel caso specifico mi sembra anche più complessa: il principio è analogo, seguirei il suggerimento che ti ha dato Ernesto01.
Comunque si ha:

$ frac{1}{x^2(x^2+2)^2}= frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2 + 2}+ frac{d}{dx}[frac{Dx^2 + Ex + F}{x(x^2 + 2)}] $

VALE014

8 apr 2018, 06:08

Si, io non capisco la formula perché ho un solo esempio svolto sulle dispense ma la professoressa ha detto che é sbagliato, non capisco come devo applicare l'ultima parte dove vi é la derivata