Integrale
Ragazzi non riesco a fare questo integrale, ho provato a farlo così ma non so se é giusto, grazie in anticipo non so come mettere il simbolo d'integrale $(x^2)/(sqrt((1-x^2) )dx $.
Pongo: $x=sent dx=cost$. Quindi ho : $ [(sen^2t)*(cost)]
/sqrt((1-sen^2t)) $. Ottengo $[(sen^2t) dt] /cost $
Va bene fino a qui? Se si come posso continuare?? E se ho sbagliato dove? Grazie mille
Pongo: $x=sent dx=cost$. Quindi ho : $ [(sen^2t)*(cost)]
/sqrt((1-sen^2t)) $. Ottengo $[(sen^2t) dt] /cost $
Va bene fino a qui? Se si come posso continuare?? E se ho sbagliato dove? Grazie mille
Risposte
Ciao VALE0,
L'integrale proposto è il seguente:
$ int frac{x^2}{sqrt{1 - x^2}} dx $
L'idea di porre $x := sin t \implies dx = cos t dt $ è buona, ma poi il risultato che hai ottenuto è errato, perché alla fine si ottiene:
$ int sin^2 t dt = int (1/2 - 1/2 cos(2t)) dt = t/2 - 1/4 sin(2t) + c = t/2 - 1/2 sin t cos t + c $
Ricordando che $ t = arcsin(x) $ si ha:
$ int frac{x^2}{sqrt{1 - x^2}} dx = int sin^2 t dt = t/2 - 1/2 sin t cos t + c = 1/2 (arcsin(x) - x sqrt{1 - x^2}) + c $
L'integrale proposto è il seguente:
$ int frac{x^2}{sqrt{1 - x^2}} dx $
$ int frac{x^2}{sqrt{1 - x^2}} dx $L'idea di porre $x := sin t \implies dx = cos t dt $ è buona, ma poi il risultato che hai ottenuto è errato, perché alla fine si ottiene:
$ int sin^2 t dt = int (1/2 - 1/2 cos(2t)) dt = t/2 - 1/4 sin(2t) + c = t/2 - 1/2 sin t cos t + c $
Ricordando che $ t = arcsin(x) $ si ha:
$ int frac{x^2}{sqrt{1 - x^2}} dx = int sin^2 t dt = t/2 - 1/2 sin t cos t + c = 1/2 (arcsin(x) - x sqrt{1 - x^2}) + c $
si può fare banalmente questo integrale e senza sostituzioni
$intx^2/sqrt(1-x^2)dx=-intsqrt(1-x^2)dx+underbrace(int1/sqrt(1-x^2)dx)_(arcsin(x))$
il secondo è un integrale immediato, il primo è 'notevole' diciamo.
$intsqrt(1-x^2)dx=underbrace(xsqrt(1-x^2)-intx(-2x)/(2sqrt(1-x^2))dx)_( p a r t i )=xsqrt(1-x^2)+intx^2/sqrt(1-x^2)dx$
pertanto
$intx^2/sqrt(1-x^2)dx=-xsqrt(1-x^2)-intx^2/sqrt(1-x^2)dx+arcsin(x)$
da cui,
elegante, come piace a noi.
$intx^2/sqrt(1-x^2)dx=-intsqrt(1-x^2)dx+underbrace(int1/sqrt(1-x^2)dx)_(arcsin(x))$
il secondo è un integrale immediato, il primo è 'notevole' diciamo.
$intsqrt(1-x^2)dx=underbrace(xsqrt(1-x^2)-intx(-2x)/(2sqrt(1-x^2))dx)_( p a r t i )=xsqrt(1-x^2)+intx^2/sqrt(1-x^2)dx$
pertanto
$intx^2/sqrt(1-x^2)dx=-xsqrt(1-x^2)-intx^2/sqrt(1-x^2)dx+arcsin(x)$
da cui,
$intx^2/sqrt(1-x^2)dx=1/2arcsin(x)-1/2xsqrt(1-x^2)+c$
elegante, come piace a noi.
Si senzasostutuzuone loo sapevo fare ma la Consegna era di svolgersi per sostituzione grazie mille:)
Non capisco solo $1/2$ da dove esce, e t non é seno?? 
Sicura che senza sostituzione fosse noto? comunque
sommi ambo i membri la quantità $intx^2/sqrt(1-x^2)dx$ ottenendo
dividi per due e aggiungi una costante arbitraria $c$ da cui
nota che la funzione $f(x)=x^2/sqrt(1-x^2)$ è continua in $(-1,1)$ quindi $F(x)=intx^2/sqrt(1-x^2)dx$ sicuramente esiste per il teorema fondamentale del calcolo integrale. Quando ti dico 'somma una primitiva' di fatto sto facendo qualcosa di lecito visto che la continuità ci garantisce che l'integrando ammetta almeno una primitiva in quanto che è la funzione integrale.
$ intx^2/sqrt(1-x^2)dx=-xsqrt(1-x^2)-intx^2/sqrt(1-x^2)dx+arcsin(x) $
sommi ambo i membri la quantità $intx^2/sqrt(1-x^2)dx$ ottenendo
$ 2*intx^2/sqrt(1-x^2)dx=-xsqrt(1-x^2)+arcsin(x) $
dividi per due e aggiungi una costante arbitraria $c$ da cui
$intx^2/sqrt(1-x^2)dx=-1/2xsqrt(1-x^2)+1/2arcsin(x)+c $
nota che la funzione $f(x)=x^2/sqrt(1-x^2)$ è continua in $(-1,1)$ quindi $F(x)=intx^2/sqrt(1-x^2)dx$ sicuramente esiste per il teorema fondamentale del calcolo integrale. Quando ti dico 'somma una primitiva' di fatto sto facendo qualcosa di lecito visto che la continuità ci garantisce che l'integrando ammetta almeno una primitiva in quanto che è la funzione integrale.
Sicurissima lo so che con la sostituzione mi complico la vita
ottimo, allora prediamo l'altro.
quando arrivi a $intsin^2(t)dt$ considera che:
$cos(2t)=cos^2(t)-sin^2(t)=1-2sin^2(t) => sin^2(t)=(1-cos(2t))/2$
quindi $intsin^2(t)dt=int(1-cos(2t))/2dt=1/2int1dt-1/4int2cos(2t)dt$
ma allora $intsin^2(t)=1/2t-1/4sin(2t)=1/2t-1/2sin(t)cos(t)$
ricordando che $t=arcsin(x)$ si ha che:
$sin(t)=sin(arcsin(x))=x$
$cos(t)=cos(arcsin(x))=sqrt(1-sin^2(arcsin(x)))=sqrt(1-x^2)$
pertanto $intx^2/sqrt(1-x^2)dx=1/2t-1/4sin(2t)=1/2t-1/2sin(t)cos(t)=1/2arcsin(x)-1/2xsqrt(1-x^2)+c$
quando arrivi a $intsin^2(t)dt$ considera che:
$cos(2t)=cos^2(t)-sin^2(t)=1-2sin^2(t) => sin^2(t)=(1-cos(2t))/2$
quindi $intsin^2(t)dt=int(1-cos(2t))/2dt=1/2int1dt-1/4int2cos(2t)dt$
ma allora $intsin^2(t)=1/2t-1/4sin(2t)=1/2t-1/2sin(t)cos(t)$
ricordando che $t=arcsin(x)$ si ha che:
$sin(t)=sin(arcsin(x))=x$
$cos(t)=cos(arcsin(x))=sqrt(1-sin^2(arcsin(x)))=sqrt(1-x^2)$
pertanto $intx^2/sqrt(1-x^2)dx=1/2t-1/4sin(2t)=1/2t-1/2sin(t)cos(t)=1/2arcsin(x)-1/2xsqrt(1-x^2)+c$
Grazie mille gentilissimo 
Solo una cosa non capisco cos2t
Lo prendi tu per comodità?, sapendo che con la formula di duplicazione semplifichi calcoli allora lo usi?
Lo prendi tu per comodità?, sapendo che con la formula di duplicazione semplifichi calcoli allora lo usi?
Tranquilla, mi fa piacere aiutare.
ricordi che $cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$?
se ricordi questo, segue facilmente che se $a=b$ allora $cos(2a)=cos(a+a)=cos^2(a)-sin^2(a)$
ricordi che $cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$?
se ricordi questo, segue facilmente che se $a=b$ allora $cos(2a)=cos(a+a)=cos^2(a)-sin^2(a)$
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