Integrale

[floyd1231]

Ciao a tutti, devo risolvere il seguente integrale:
$ int (x-1)/(sqrtx(x^(3/2)-1) dx $
Sostituendo, arrivo a:
$ 2int (t^2-1)/(t^3-1) dt $
Integro per fratti semplici
$ (A/(t-1))+((Bt+C)/(t^2+t+1)) $
Ora, non riesco a capire se nel sistema che imposto $ A-C $ debba essere uguale a $ 1 $ o a $ -1 $. Come si continua, poi? Sapreste aiutarmi, per favore?

[pilloeffe]

Ciao floyd123,

L'integrale proposto è il seguente:

$ int (x-1)/(sqrt{x}(x^{3/2}-1)) dx $

Posto $t := sqrt{x} $ si ha:

$2 int frac{t^2 - 1}{t^3 - 1} dt = 2 int frac{(t - 1)(t + 1)}{(t - 1)(t^2 + t + 1)} dt = 2 int frac{t + 1}{t^2 + t + 1} dt = int frac{2t + 1 + 1}{t^2 + t + 1} dt = $
$ = int frac{2t + 1}{t^2 + t + 1} dt + int frac{1}{t^2 + t + 1} dt = ln(t^2 + t + 1) + int frac{dt}{(t + 1/2)^2 + (sqrt{3}/2)^2} $

Ora dovresti essere in grado di continuare...

[floyd1231]

Capito! Grazie pilloeffe Però vorrei capire come hai fatto a capire che bisognava scomporre il denominatore in quel modo: è una regola particolare? Inoltre, come si dovrebbe continuare? Grazie e scusa il disturbo, ma quest'integrale mi sta facendo penare

[pilloeffe]

"floyd123":Grazie pilloeffe

Prego

"floyd123":Però vorrei capire come hai fatto a capire che bisognava scomporre il denominatore in quel modo: è una regola particolare?

Si tratta di una scomposizione piuttosto standard che si adotta quando il polinomio a denominatore del tipo $ax^2 + bx + c $ ha $\Delta = b^2 - 4ac < 0 $

"floyd123":Inoltre, come si dovrebbe continuare?

Ponendo $u := t + 1/2 $ ci si riconduce ad un integrale del tipo $int frac{du}{u^2 + a^2} $ dove nel tuo caso $a := frac{sqrt{3}}{2} $ che è un integrale ben noto. Dopo qualche semplice calcolo dovresti ottenere il risultato seguente:

$ int (x-1)/(sqrt{x}(x^{3/2}-1)) dx = 2 int frac{t^2 - 1}{t^3 - 1} dt = ln(t^2 + t + 1) + frac{2}{sqrt{3}} arctan(frac{2t + 1}{sqrt{3}}) + c $

Perciò, ricordando la posizione $t := sqrt{x} $, in definitiva si ha:

\begin{equation*}
\boxed{\int \frac{x-1}{\sqrt{x}(x^{3/2}-1)} dx = \ln(x + \sqrt{x} + 1) + \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\bigg(\frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{3}}\bigg) + c}
\end{equation*}

[floyd1231]

Sei davvero gentilissimo, grazie infinite