Integrale
Ciao a tutti qualcuno mi può aiutare ?
Ho la seguente curva piana
$r(t)$ = $(1$ + $cos(t))cos(t)$i$ -(1+cos(t))sin(t)$j
Per provare che è regolare a tratti ho calcolato la norma del vettore tangente e verificato dove si annulla . In particolare essendo la parametrizzazione con coordinate polari
${ ( x= f(t)cos(t) ),( y= -f(t)sin(t) ):}$
dove $f(t)$ = $1+cos(t)$
Ho usato la formula
$abs(r^{\prime}(t))$ = $sqrt((f^{\prime}(t))^2 +(f(t))^2)$
Qui primo dubbio : nell'applicazione della formula si considera solo $f(t)$ ( nel senso con segno positivo) indipendentemente dal fatto che nel sistema compaia per la componente $y$ con segno negativo ? Cioè così
$y$=$-f(t)$$sin(t)$
Procedendo in questo modo ho ottenuto
$abs(r^{\prime}(t))$ = $sqrt(2+2cos(t))$
Da cui si deduce che si annulla per $t$ = $pi$.
Ora per calcolare la lunghezza devo risolvere l'integrale
$sqrt(2)$$int_(0)^(2pi) sqrt(1+cos(t)) dt $
Secondo dubbio: qui devo integrare 2 volte, prima da $0$ a $pi$ e poi da $pi$ a $2pi$ o posso integrare in una volta da $0$ a $2pi$ ?? Perchè appunto in $pi$ la curva è irregolare
Terzo dubbio Per risolvere l'integrale riportato si usa la nota formula di bisezione:
$cos(t/2)$= $+-$ $sqrt((1+cos(t))/2)$
come si gestisce il segno ?
Ho la seguente curva piana
$r(t)$ = $(1$ + $cos(t))cos(t)$i$ -(1+cos(t))sin(t)$j
Per provare che è regolare a tratti ho calcolato la norma del vettore tangente e verificato dove si annulla . In particolare essendo la parametrizzazione con coordinate polari
${ ( x= f(t)cos(t) ),( y= -f(t)sin(t) ):}$
dove $f(t)$ = $1+cos(t)$
Ho usato la formula
$abs(r^{\prime}(t))$ = $sqrt((f^{\prime}(t))^2 +(f(t))^2)$
Qui primo dubbio : nell'applicazione della formula si considera solo $f(t)$ ( nel senso con segno positivo) indipendentemente dal fatto che nel sistema compaia per la componente $y$ con segno negativo ? Cioè così
$y$=$-f(t)$$sin(t)$
Procedendo in questo modo ho ottenuto
$abs(r^{\prime}(t))$ = $sqrt(2+2cos(t))$
Da cui si deduce che si annulla per $t$ = $pi$.
Ora per calcolare la lunghezza devo risolvere l'integrale
$sqrt(2)$$int_(0)^(2pi) sqrt(1+cos(t)) dt $
Secondo dubbio: qui devo integrare 2 volte, prima da $0$ a $pi$ e poi da $pi$ a $2pi$ o posso integrare in una volta da $0$ a $2pi$ ?? Perchè appunto in $pi$ la curva è irregolare
Terzo dubbio Per risolvere l'integrale riportato si usa la nota formula di bisezione:
$cos(t/2)$= $+-$ $sqrt((1+cos(t))/2)$
come si gestisce il segno ?
Risposte
Guardando la tua curva non ci sono coordinate polari, hai la curva scritta in termini vettoriali questa i e j sono i versori. La tua curva sarà $r(t) = \{((1+cos(t))cos(t)) , (−((1+cos(t))sin(t))):}$
Una curva è regolare se la derivata prima delle sue componenti non si annulla mai, quindi calcoli $r'(t)$ poni le componenti uguali a zero e verifichi che esse non si annullino. Nel caso in cui si annullano allora avrai i cosiddetti punti singolari in cui la curva non è regolare.
Osservando la curva ad occhio forse non è regolare tu però ovviamente verifica come detto sopra. Per la lunghezza devi applicare la formula: $\int_{a}^{b} |r'(t)| dx$ dove a e b sono gli estremi dell'intervallo in cui la funzione è definita mentre $|r'(t)|$ sarà il modulo delle vettore derivata prima. Non so se si arriva a quell'integrale che avevi trovato prima, però si quell'integrale lo risolverei con la formula di bisezione, però eseguendo modiche all'integrale ovvero moltiplicando l'argomento della radice per 2 e dividendo per due. A
Ah dimenticavo per la lunghezza se non è regolare, devi individuare gli intervalli in cui è regolare e calcolare la lunghezza in quei tratti e poi sommarli
Una curva è regolare se la derivata prima delle sue componenti non si annulla mai, quindi calcoli $r'(t)$ poni le componenti uguali a zero e verifichi che esse non si annullino. Nel caso in cui si annullano allora avrai i cosiddetti punti singolari in cui la curva non è regolare.
Osservando la curva ad occhio forse non è regolare tu però ovviamente verifica come detto sopra. Per la lunghezza devi applicare la formula: $\int_{a}^{b} |r'(t)| dx$ dove a e b sono gli estremi dell'intervallo in cui la funzione è definita mentre $|r'(t)|$ sarà il modulo delle vettore derivata prima. Non so se si arriva a quell'integrale che avevi trovato prima, però si quell'integrale lo risolverei con la formula di bisezione, però eseguendo modiche all'integrale ovvero moltiplicando l'argomento della radice per 2 e dividendo per due. A
Ah dimenticavo per la lunghezza se non è regolare, devi individuare gli intervalli in cui è regolare e calcolare la lunghezza in quei tratti e poi sommarli
Grazie 
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