Integrale

[fabiett1]

Mi si chiede di risolvere il seguente integrale su $(-oo,0)$
$ int_()^()arctan(1/x) dx $
Svolgendo i calcoli sono arrivato a questo $xarctan(1/x) + 1/2log(1+x^2)$, tuttavia il risultato è $-xarctan(1/x) + 1/2log(1+x^2)-pi/2x$ e non capisco il perché...

[Berationalgetreal]

\[ \arctan \left ( \frac{1}{|x|} \right ) = \frac{\pi}{2} - \arctan (|x|), \ \forall x \neq 0 \]

[fabiett1]

Non si può risolvere per parti? Ho guardato anche su Wolfram e mi dà il medesimo risultato...

[Ziben]

"Berationalgetreal":\[ \arctan \left ( \frac{1}{x} \right ) = \frac{\pi}{2} - \arctan (x), \ \forall x \neq 0 \]

scusa, so che sei mille volte più bravo di me, ma mi risulta che:

$arctan(1/x) = pi/2 - arctan(x)$ per $x>0$
e
$arctan(1/x) = -pi/2 - arctan(x)$ per $x<0$

Dove sbaglio? Non riesco ad accorpare...

[Berationalgetreal]

"Ziben":[quote="Berationalgetreal"]\[ \arctan \left ( \frac{1}{x} \right ) = \frac{\pi}{2} - \arctan (x), \ \forall x \neq 0 \]

scusa, so che sei mille volte più bravo di me, ma mi risulta che:

$arctan(1/x) = pi/2 - arctan(x)$ per $x>0$
e
$arctan(1/x) = -pi/2 - arctan(x)$ per $x<0$

Dove sbaglio? Non riesco ad accorpare...[/quote]

Sí, hai ragione. Ho dimenticato di mettere i moduli. La relazione corretta è:

\[ \arctan (|x| ) + \arctan \left ( \frac{1}{|x|} \right ) = \frac{ \pi}{2}, \ \forall x \neq 0 \]

Nel caso in cui \( x < 0 \):

\[ \arctan (-x ) + \arctan \left (- \frac{1}{x} \right ) = \frac{ \pi}{2}, \ \forall x < 0 \]

E visto che l'arcotangente è dispari:

\[ \arctan (x) + \arctan \left ( \frac{1}{x} \right ) = - \frac{\pi}{2}, \ \forall x < 0 \]

[Ziben]

Grazie mille.