INTEGRALE

[pierlurizzo91]

Buongiorno a tutti
Sto impazzendo con questo esercizio:


Calcolare l'integrale
$$
I = \int_0^1 \frac{log(1+x)}{1+x^2} dx
$$
mediante l'uso della derivata della funzione definita per $\alpha \in [0,1]$ da
$$
I(\alpha)=\int_0^\alpha \frac{log(1+\alpha x)}{1+x^2} dx.
$$



Ho pensato di derivare la funzione $I(\alpha)$. Per il teorema di derivazione di integrali dipendenti da parametro si ha (se non ho sbagliato i conti )
$$
I'(\alpha)= \int_0^\alpha \frac{x}{(1+x^2)(1+\alpha x)}dx + \frac{log(1+\alpha^2)}{1+\alpha^2}
$$
Risolvendo il primo integrale con il metodo dei fratti semplici:
$$
I'(\alpha)= \frac{1}{1+\alpha^2} \left( \frac{log(\alpha^2+1)}{2} + \alpha arctg(\alpha) \right).
$$

Quindi ho pensato che se riuscissi a risolvere il problema di Cauchy
$$
\begin{cases}
I'(\alpha)= \frac{1}{1+\alpha^2} \left( \frac{log(\alpha^2+1)}{2} + \alpha arctg(\alpha) \right) \\ I(0)=0
\end{cases}
$$
e trovare la forma esplicita di $I(\alpha)$, poi basterebbe calcolare $I=I(1)$.
Ma come faccio ad integrare la prima equazione? Potete aiutarmi?

[pierlurizzo91]

"TeM":Quindi, torniamo indietro integrando indefinitamente rispetto a \(y\) (*), ottenendo: \[ I(y) = \frac{1}{2}\,\arctan(y)\,\log\left(1+y^2\right)+ c \]

Giusto! Mi mancava questo piccolo passaggio! Grazie mille