Integrale
Salve ragazzi, l'esercizio mi chiede
Provare che $AA a in RR$ vale la relazione $\int_0^a f(x)dx$ = $\int_0^a f(x-a)dx$.
Io ho provato a scomporre l'integrale a destra, poi come si può procedere? Vedendo i casi $a>0$ e $a<0$?
Provare che $AA a in RR$ vale la relazione $\int_0^a f(x)dx$ = $\int_0^a f(x-a)dx$.
Io ho provato a scomporre l'integrale a destra, poi come si può procedere? Vedendo i casi $a>0$ e $a<0$?
Risposte
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Avendo risolto la prima parte da solo, ho provveduto a modificare la discussione e a lasciare solo l'ultima parte, che non ho purtroppo capito. Spero che qualcuno possa darmi una mano e, scusate per l'insistenza. Venerdì ho lo scritto di Analisi 1.
E' chiaramente falso. Ad esempio, per $f (x) = e^x$:
\[ \int_{0}^{a} e^x dx = e^a - 1 \]
è uguale ad
\[ \int_{0}^{a} e^{x - a} dx = 1 - e^{-a} \]
$\iff a = 0 $. Sicuro che non ci sia una condizione riguardante la $f(x)$? Non ho letto il messaggio per intero, quindi mi baso su quello che leggo adesso.
\[ \int_{0}^{a} e^x dx = e^a - 1 \]
è uguale ad
\[ \int_{0}^{a} e^{x - a} dx = 1 - e^{-a} \]
$\iff a = 0 $. Sicuro che non ci sia una condizione riguardante la $f(x)$? Non ho letto il messaggio per intero, quindi mi baso su quello che leggo adesso.
L'esercizio (preso dal libro) dice per intero
"Enunciare e dimostrare la regola di sostituzione per il calcolo degli integrali.
In seguito, provare che per ogni $a in RR$ vale la seguente uguaglianza:
$\int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(x-a)dx$
Non mi dice di provare SE sono uguali, ma CHE sono uguali per ogni $a in RR$
"Enunciare e dimostrare la regola di sostituzione per il calcolo degli integrali.
In seguito, provare che per ogni $a in RR$ vale la seguente uguaglianza:
$\int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(x-a)dx$
Non mi dice di provare SE sono uguali, ma CHE sono uguali per ogni $a in RR$
Sei sicuro che gli estremi di integrazione restino invariati?
Vedete l'allegato, questo è l'esercizio.
Hai copiato male il testo!
$f(x - a)$ ed $f(a - x)$ non sono la stessa cosa!
$f(x - a)$ ed $f(a - x)$ non sono la stessa cosa!
Comunque, per la dimostrazione basta usare un po' di buon senso. Prima ti viene chiesto di enunciare il principio della sostituzione per gli integrali; e subito dopo ti viene chiesto di dimostrare questa identità. Non ti viene in mente che la dimostrazione utilizzi le sostituzioni? 
Poniamo $ t = a - x \implies dx = - dt $. Allora:
\[ \int_{0}^{a} f(a - x) dx = - \int_{a}^{0} f(t) dt = \int_{0}^{a} f(t) dt \]
Detta $F$ una primitiva di $f$, si ha che:
\[ \int_{0}^{a} f(x) dx = F(a) - F(0) \]
e
\[ \int_{0}^{a} f(t) dt = F(a) - F(0) \]
Da cui
\[ \int_{0}^{a} f(x) dx = F(a) - F(0) = \int_{0}^{a} f(t) dt = \int_{0}^{a} f(a - x) dx \]
QED
Poniamo $ t = a - x \implies dx = - dt $. Allora:
\[ \int_{0}^{a} f(a - x) dx = - \int_{a}^{0} f(t) dt = \int_{0}^{a} f(t) dt \]
Detta $F$ una primitiva di $f$, si ha che:
\[ \int_{0}^{a} f(x) dx = F(a) - F(0) \]
e
\[ \int_{0}^{a} f(t) dt = F(a) - F(0) \]
Da cui
\[ \int_{0}^{a} f(x) dx = F(a) - F(0) = \int_{0}^{a} f(t) dt = \int_{0}^{a} f(a - x) dx \]
QED
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