Integrale

[luca19952]

Buongiorno, non riesco a risolvere questo esercizio:
Sia Σ la superfcie defnita da $ Σ={(x,y,x)in R^3| z=3+2x^2+2y^2, 4<=z<=6} $ , calcolare $ int_Σ (5x^2)/((x^2+y^2)*sqrt(1+16x^2+16y^2))dsigma $.
Come devo procedere?
Grazie mille

[Werner1]

Io passerei in coordinare polari per parametrizzare la parte in $x$ e $y$.
Il dominio diventa $\Sigma{z=3+2\rho^2, a=(1/2)^{1/2} \leq \rho \leq (3/2)^{1/2}=b}$
L'integrale diventa allora
$\int_{a}^{b} \int_0^{2\pi} {5 cos^2(\theta) \rho^2}/{\rho^2 \sqrt{1+16\rho^2}} d\rho d\theta=\int_{a}^{b} \int_0^{2\pi} {5 cos^2(\theta)}/{\sqrt{1+16\rho^2}} d\rho d\theta=5 \pi \int_{a}^{b} 1/{\sqrt{1+16\rho^2}} d\rho=20 \pi (arctg(b)-arctg(a))$
dovrebbe essere una cosa del genere

[luca19952]

Ho provato anch'io a farlo così, ma non viene. Il risultato è 5π/2

[Daddarius1]

"Werner":Io passerei in coordinare polari per parametrizzare la parte in $x$ e $y$.
Il dominio diventa $\Sigma{z=3+2\rho^2, a=(1/2)^{1/2} \leq \rho \leq (3/2)^{1/2}=b}$
L'integrale diventa allora
$\int_{a}^{b} \int_0^{2\pi} {5 cos^2(\theta) \rho^2}/{\rho^2 \sqrt{1+16\rho^2}} d\rho d\theta=\int_{a}^{b} \int_0^{2\pi} {5 cos^2(\theta)}/{\sqrt{1+16\rho^2}} d\rho d\theta=5 \pi \int_{a}^{b} 1/{\sqrt{1+16\rho^2}} d\rho=20 \pi (arctg(b)-arctg(a))$
dovrebbe essere una cosa del genere

Ci manca lo jacobiano!

[Werner1]

si, e l'integrale al denominatore non è un arcotangente ma è una radice,scusa ma lo ho fatto a mente e mi sono mangiato dei pezzi, prova a farlo per bene ma dovrebbe venire
$5/{16} \pi \int_a^b {16 \rho}/{\sqrt{1+16\rho^2}}=5/{16} \pi (\sqrt{1+16\rho^2})|_a^b=5/8 \pi$
Che è sbagliato, ma ho sicuramente sbagliato qualcosa nel valutare le cose