Integrale

[Matnice]

Ciao non riesco proprio a risolvere questo integrale:
$int 1/((4x+1)(sqrt(x)-1)) dx$

Qualche suggerimento?

[Matnice]

"TeM":Preliminarmente ti consiglio di porre una sostituzione del tipo
\(t = \sqrt{x}\), quindi di scomporre l'integranda in fratti semplici.

Avevo provato ma poi mi sono perso nei calcoli, adesso riprovo
Quando effettuo la sostituzione in $sqrt(x)=t$ assumo $x>0$ e questa condizione la considero per lo svolgimento di tutto l'integrale giusto?

[Matnice]

"TeM":[quote="matnice"]Adesso io devo trovare A e B... Credo che a questo punto debba trovarli in funzione di t, giusto?

Alt, alt!! \(A\) e \(B\) sono due costanti, non possono dipendere da \(t\)! Ti mostro qualche passaggio.

Dato l'integrale indefinito \[ I(x) := \int \frac{1}{(4\,x + 1)\left(\sqrt{x} - 1\right)}\,\text{d}x \] ponendo una sostituzione del tipo \(t = \sqrt{x}\) segue che \(x = t^2\), quindi \(\text{d}x = 2\,t\,\text{d}t\) e si ottiene \[ I(x) = \int \frac{2\,t}{\left(4\,t^2 + 1\right)\left(t - 1\right)}\,\text{d}t \; . \] A questo punto, scomponendo l'integranda in fratti semplici, si ha
\[ \begin{aligned}
\frac{2t}{\left(4\,t^2 + 1\right)\left(t - 1\right)}
& = \frac{A_1\,t + A_2}{4\,t^2 + 1} + \frac{A_3}{t - 1} \\
& = \frac{\left(A_1\,t + A_2\right)(t - 1) + A_3\left(4\,t^2 + 1\right)}{\left(4\,t^2 + 1\right)\left(t - 1\right)} \\
& = \frac{\left(A_1 + 4\,A_3\right)t^2 + \left(- A_1 + A_2\right)t + \left(-A_2 + A_3\right)}{\left(4\,t^2 + 1\right)\left(t - 1\right)}
\end{aligned}\] e tali uguaglianze sono delle identità se e soltanto se \[ \begin{cases} A_1 + 4\,A_3 = 0 \\ - A_1 + A_2 = 2 \\ - A_2 + A_3 = 0 \end{cases} \; . \] A te procedere. [/quote]


Avevo sbagliato il differenziale nella sostituzione... In ogni caso devo riguardarmi la scomposizione in fratti semplici. Pensavo che si potesse scomporre in fratti semplici soltanto una frazione con al numeratore $1$...

[Matnice]

Comunque ho capito come procedere, grazie mille

[Matnice]

Diciamo che l'ho studiata proprio dal tuo post, chairissimo
Grazie ancora