Integrale

[andros1]

Buongiorno ragazzi....potete darmi una mano con questo integrale ?
$\int_0^(pi/2) (sin x-1)/(cos x+2)$
Risolvo il relativo integrale indefinito che è: $\int (sin x)/(cos x+2)-\int (1)/(cos x+2)$
trovo che il primo vale $log(cos x +2)$mentre per il secondo come devo fare ?

[ViciousGoblin]

Può darsi che ci sia un'idea migliore, ma una sostituzione che sicuramente funziona è $t=\tan(x/2)$. Se non mi sbaglio, facendo così, si trova:

$\int\frac{2dt}{3+t^2}=2/3 \sqrt(3) \arctan(t/\sqrt(3))+c=...$

[andros1]

visto che $ cos x = (1-tg(x/2)^2)/(tg(x/2)^2+1)$ e ponendo $t=tg(x/2)$ allora $x=2arctg(t)$ e $dx=2/(t^2+1)dt$
allora l' integrale diventa $\int (t^2+1)/(1-t^2+2(t^2+1)) 2/(t^2+1) dt =2\int 1/(t^2+3) dt $
che vale $2/(sqrt(3)) arctan (t/(sqrt(3)))$ e ritornando a x $ 2/(sqrt(3)) arctan (tan(x/2)/(sqrt(3)))$
Giusto ?

[ViciousGoblin]

Giusto. Scusa per la scarsa leggibilità del messaggio precedente - ho chiuso in fretta e ho scrodato il dollaro finale...